Satz von Schwarz überprüfen

Question

Ich brauche Hilfe. Bitte um einen ausführlichen Rechenweg. Die Gültigkeit des Satzes von schwarz soll an dieser Funktion überprüft und erklärt werden.

f(r;s)=r*sin(r*s)

!!!!!!!!!!!!

Comments

Was Ableiten bedeutet, ist aber bekannt, oder?

Answer 1

f(r;s)=r*sin(r*s)

Dann leite mal ab: zuerst nach r gibt

 f_r ' (r,s) = 1 *sin(r*s) + r * cos(rs) * s = sin(r*s) + rs*cos(rs)

dann nach s gibt

 f_rs ' ' (r,s) = r*cos(r*s) + r * cos(rs) + rs* (-sin(rs)) * r

                 = r*coss(r*s) + r * cos(rs) - r²* s* sin(rs))

                      = 2r*coss(r*s)  - r²* s* sin(rs))   #

Jetzt umgekehrt: zuerst nach s

 f_s ' (r,s) =  r * cos(rs) * r =  r²*cos(rs)

Dann nach r gibt

 f_sr ' ' (r,s) = 2r * cos(rs) +   r²*(-sin(rs)) * s

                = 2r * cos(rs) -   r²*s*sin(rs)

Vergleich mit # zeigt :   Schwarz hat recht.

Answer 2

Leite doch zunächst einmal nach r ab und die Ableitung anschließend nach s.

Nun leitest du nach s ab und die Ableitung nach r.


Jetzt schaust du , ob bei beidem das selbe rauskommt.
Wo entstehen da Probleme?

Answer 3

> f(r;s)=r*sin(r*s)

1. Leite die Funktion nach r ab. Leite die entstandene Ableitung nach s ab.
2. Leite die Funktion nach s ab. Leite die entstandene Ableitung nach r ab.

1. und 2. müssen laut dem Satz von Schwarz gleiche Ergebnisse liefern.

Answer 4

f(x, y) = r·SIN(r·s)

fr = r·s·COS(r·s) + SIN(r·s)

frs = 2·r·COS(r·s) - r^2·s·SIN(r·s)

fs = r^2·COS(r·s)

fsr = 2·r·COS(r·s) - r^2·s·SIN(r·s)

Man sieht frs = fsr