Differentialgleichung Anfangswertproblem

Question

Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme:

y''(x)+4y'(x)+4y(x)=cos(2x)

y(0)=0      y'(0)=1/2

Das Problem ist folgendes, wenn man y_h (homogen) bestimmt, hat man ja aufgrund der doppelten Nullstelle -2

y_h = c1 * e^{-2x} + c2 * e^{-2x} * x

das bedeutet also wenn man später zusammen mit der y_p (partikulär) y(x) bestimmt hat und dann y(0) und y'(0)

einsetzt, verschwindet ja der Term c2 * e^{-2x} * x

und somit hat man nicht die Möglichkeit c2 herauszufinden.

Grüße

Ruel

Answer 1

die Lösung der DGL lautet:

y(x)=e^{-2x}*(c1+c2*x)+1/8 sin(2x)

y'(x)= -2*e^{-2x}*(c1+c2*x)+e^{-2x}*c2 +1/4 cos(2x)

y'(0)= -2c1 +c2+1/4 =1/2

y(0)= c1= 0

--> c2=1/4

Comments

wie kommst man auf die +1/8 sin(2x)

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Rechts steht bei der DGL als Störterm cos(2x) ,daher lautet der Ansatz für die partikulare Lösung

yp=A*COS (2x) + B*sin(2x)

Leite den Ansatz ab und setze in die DGL ein. Vergleiche jeweils die Koeffizienten vor COS(2x) und sin(2x) auf beiden Seiten miteinander , das macht 2 Gleichungen zur Bestimmung von A und B.

Answer 2

wie kommst man auf die +1/8 sin(2x)

yp= A cos(2x) +B sin(2x)

yp ' = 

yp'' =

Dann yp , yp' , yp'' in die DGL einsetzen und einen Koeffizientenvergleich machen