Lineare Differentialgleichungen y''(t) + ay'(t) + by(t) = f(t)

Question

Es ist eine Differentialgleichung gegeben:  y''(t) + ay'(t) + by(t) = f(t)

Jetzt sollen die Parameter a,b und die Funktion f(t) bestimmt werden, sodass gilt:

y1(t) = t²        y2(t) = t² + e^2t        y3(t) = 1 + t² + e^2t  

Könnt ihr mir ein paar Ansätze geben? Ich blicke da nicht durch wie man anfangen soll und eventuell auch

Ergebnisse als Vergleichswerte.

Grüße

Ruel

Comments

Hallo Ruel,

gibt es noch irgendeine Aussage zu \(f(t)\) oder darf sie völlig beliebig sein?

---

Keine weiteren Aussagen in der Aufgabe mehr außer vielleicht noch das a,b und f(x) reell sind

---

Hast du keine Idee die mir weiterhilft ?

Answer 1

Hallo Ruel,

Wenn sowohl \(a\), \(b\) und \(f(t)\) völlig frei sind, so kannst Du die Funktionen differenzieren und einfach einsetzen. Mit

$$y_3=1 + t^2 + e^{2t}$$

$${y_3}'=2 t + 2e^{2t}$$

$${y_3}''=2 + 4e^{2t}$$

und dann alles einsetzen:

$$2 + 4e^{2t} + a(2 t + 2e^{2t}) + b(1 + t^2 + e^{2t})= f(t)$$

bzw. etwas aufgeräumt

$$f(t) = 2 + b + 2at + bt^2 + e^{2t}(4+2a+b)$$

Die Lösung für \(y_1\) und \(y_2\) sind ähnlich. Die Koeffizienten \(a\) und \(b\) sind nun frei wählbar, da keine weitere Bedingung vorhanden ist. Deshalb auch meine Frage oben.

Gruß Werner

Comments

Super, danke. Hätte nicht Gedacht das es so simpel ist.

In der Aufgabe stehen auch keine weiteren Bedingungen, außer wie gesagt das 

f(t) und a,b Reell sein sollen und die Lösungen: y1, y2, y3 gegeben sind.

Frage mich nur noch ob jetzt nicht noch eine Möglichkeit gibt a und b zu bestimmen oder ist damit nur gemeint welche Werte sie annehmen können?

---

\(a\) und \(b\) können beliebige Werte mit \(a,b \in \mathbb{R}\) annehmen. Kannst Du vielleicht die Aufgabenstellung noch mal wörtlich einstellen.