Hallo Ruel,
Wenn sowohl \(a\), \(b\) und \(f(t)\) völlig frei sind, so kannst Du die Funktionen differenzieren und einfach einsetzen. Mit
$$y_3=1 + t^2 + e^{2t}$$
$${y_3}'=2 t + 2e^{2t}$$
$${y_3}''=2 + 4e^{2t}$$
und dann alles einsetzen:
$$2 + 4e^{2t} + a(2 t + 2e^{2t}) + b(1 + t^2 + e^{2t})= f(t)$$
bzw. etwas aufgeräumt
$$f(t) = 2 + b + 2at + bt^2 + e^{2t}(4+2a+b)$$
Die Lösung für \(y_1\) und \(y_2\) sind ähnlich. Die Koeffizienten \(a\) und \(b\) sind nun frei wählbar, da keine weitere Bedingung vorhanden ist. Deshalb auch meine Frage oben.
Gruß Werner