Beweisen mithilfe der Kürzungsregel/Zeigen was für beliebige Gruppen gilt

Question

(a)

Zeigen Sie, dass für beliebige Gruppen (G,◦) und beliebige a,b ∈ G gilt:

(a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1    (die Reihenfolge ist absichtlich so gewählt).

 (b)

Beweisen Sie mithilfe der Kürzungsregeln (in den Gruppen (R,+) und (R\{0},·)):

Jede lineare Gleichung der Form a · x + b = 0 (a,b ∈ R, a (ungleich) 0) über dem Grundbereich R besitzt genau eine Lösung.

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Tipp zu (a): \((b^{-1}\circ a^{-1})\circ(a\circ b)=b^{-1}\circ(a^{-1}\circ a)\circ b=b^{-1}\circ e\circ b=b^{-1}\circ b=e\).

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danke und noch einen schönen abend

Answer 1

Für a) siehe Kommentar : Es ist gezeigt, dass  b⁻¹ ◦ a⁻¹    mit a◦ b   verknüpft das

neutrale Element ergibt, also nach Def. das Inverse von a◦ b  ist.

b) a · x + b = 0    auf beiden Seiten das additive Inverse von b addieren

(a · x + b) + (-b)  = 0 + (-b)     ausrechnen mit assoziativ etc.

                      a*x = -b

Nun auf beiden Seiten mit dem multiplkativen Inversen von a (Das gibt es wegen a≠0)

multiplizieren ==>     a^-1 *  a*x =      a^-1 *(-b)

Regeln anwenden:                 x =  a^-1 *(-b) , also gibt es genau eine Lösung.

                                      

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vielen dank und einen schönen sonntag abend noch