Question

Wie lautet die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3.Grades, deren Graph in P (-1; -13/3) einen Tiefpunkt hat,  bei x=2 einen Wendepunkt aufweist und die Ordinatenachse bei +1 schneidet?

Answer 1

ganzrationalen Funktion 3.Grades, deren Graph in P (-1; -13/3) einen Tiefpunkt hat,  bei x=2 einen Wendepunkt aufweist und die Ordinatenachse bei +1 schneidet?

f(x) = ax³ +bx² +cx +d 

f(-1) = -13/3
f ' (-1) = 0 
f ' ' (2) = 0
f(0) = 1 

==> 

-a + b -c +d = -13/3 

3a  -2b  + c     = 0 

12a +2b = 0 

d= 1 

==>   f(x) = -2/3 x³ + 4 x² + 10 x + 1 

etwa so:

~plot~ -2/3*x^3 + 4*x^2 + 10*x + 1 ;[[-3|6|-10|80]]  ~plot~

Answer 2

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = -⅔x³ + 4x² +10x + 1.

Comments

Wie kommen sie darauf? 

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> Wie lautet die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3.Grades

Allgemein lautet sie f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Deine Aufgabe ist es, anhand der zusätzlichen Informationen die Parameter a, b, c und d zu bestimmen.

> deren Graph in P (-1; -13/3)

Das heißt f(-1) = -13/3. Ersetzt man also in obiger Funktionsgleichung jedes x durch eine -1, dann bekommt man als Ergebnis -13/3. Formuliere diesen Sachverhalt als Gleichung.

> einen Tiefpunkt hat

Notwendigs Kriterium für Tiefpunkte ist, dass die Ableitung dort 0 ist. Es muss also f'(-1) = 0 sein. Bestimme die Ableitung von f(x) = ax³ + bx² + cx + d, setze x = -1 ein und setze gleich 0. Dadurch hast du eine  zweite Gleichung.

Auch die anderen Bedingungen "bei x=2 einen Wendepunkt" und "die Ordinatenachse bei +1 schneidet" können entsprechend als Gleichungen formuliert werden.

Du hast dann ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen. Das passt ganz gut zu den vier Parametern, die du bestimmen musst. Löse das Geicungssystem.