Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in T(1|-2) einen Tiefpunkt …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

15. a) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in T(1|-2) einen Tiefpunkt besitzt und durch die Punkte \( A(0 \mid-1) \) und \( B(2 \mid 1) \) verläuft.
b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in \( W(1 \mid-1) \) einen Wendepunkt hat und durch die Punkte \( A(0 \mid 1) \) und \( B(3 \mid 1) \) verläuft.
c) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph in \( T(0 \mid 1) \) einen Tiefpunkt besitzt und durch die Punkte \( A(-1 \mid 4), B(1 \mid 2) \) und \( C(2 \mid 13) \) verläuft.
d) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur \( y \)-Achse ist, in T \( (2 \mid-14) \) einen Tiefpunkt hat und durch den Punkt \( A(1 \mid-5) \) verläuft.

Problem/Ansatz:

Ich habe einen Grafiktaschenrechner von Casio fx CG 20 und möchte ein Gleichungssystem aufstellen, um diese Aufgaben hier zu lösen, jedoch klappt das Ganze nicht. Was soll ich drücken? Kennt sich da jemand aus?

Ich weiß nicht wieso es mir keine funktionsgleichung aufstellt und wie soll ich das überhaupt machen wenn ich nicht weiß was a, b, c und d ist. Besonders bei a) ist es schwer.

Text erkannt:

CASIO
\( f x-C G 20 \)
Gle ichung
Typ wählen
Fi: Lin Gleichungssyst
F2) Polynomgleichung
P3: Al lgeme ine Losung SIMUL POLY SOLVER

Text erkannt:

CASIO
\( f x-C G 20 \)

Polynomg leichung Daten im

Speicher vorhanden Grad: 3

Grad?

Text erkannt:

casio
\( f x-C G 20 \)
\( \begin{array}{l} \mathrm{x} 110.028 \\ \begin{array}{l} x 10.928 \\ x 2 \\ x 3-0.0829 \end{array} \rightarrow() \\ 10.9286265 \\ \end{array} \)

REPEAT

Comments

ich habe zwar keine Ahnung von diesem Rechner, aber Du musst ein Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und kein Polynom eingeben.

Die Lösung des LGS sind dann die Koeffizienten des gesuchten Polynoms.

Answer 1

Zu a) Setze f(1)= - 2; f '(1)=0; f(0)= - 1 und f(2)=1 in die Gleichungen

f(x)=ax³+bx²+cx+d und f '(x)=3ax²+2bx + c ein. Dann erhältst du ein System von vier Gleichungen mit vier Unbekannte a, b, c und d. Das kann dann dein Casio fx CG 20 lösen.

Entsprechend für b), c) und d).

Answer 2

d) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur \( y \)-Achse ist, in T \( (2 \mid-14) \) einen Tiefpunkt hat und durch den Punkt \( A(1 \mid-5) \) verläuft.

Da wegen der Achsensymmetrie ein Tiefpunkt bei \(T_1(2|-14)\)ist liegt auch ein Tiefpunkt bei  \(T_2(-2|-14)\)

Ich verschiebe beide Tiefpunkte um 14 Einheiten nach oben und erhalte

\(T´_1(2|0)\)  und \(T_2(-2|0)\) Hier sind nun doppelte Nullstellen. Ich mache nun weiter mit der Nullstellenform der Parabel 4.Grades:

\(f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2\)

\( A(1 \mid-5) \) auch um 14 Einheiten nach oben verschieben: \( A´(1 \mid 9) \):

\(f(1)=a(1-2)^2(1+2)^2=9a=9\)

\(a=1\):

\(f(x)=(x-2)^2(x+2)^2\)

Diese Funktion muss nun noch um  14 Einheiten nach unten verschoben werden:

\(p(x)=(x-2)^2(x+2)^2-14\)

Ich stelle beide Graphen im Bild dar, um den Weg noch besser zu verdeutlichen: