Funktion dritten Grades, deren Graph in W (0 | 3) und in T (1 | 1) einen Tiefpunkt hat?

Question

Wie erstelle ich eine Gleichung aus diesen Informationen?

Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades,

deren Graph in W (0 | 3) und in T (1 | 1) einen Tiefpunkt hat

Answer 1

Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten
Grades, deren Graph in W (0 | 3) und in T (1 | 1) einen Tiefpunkt hat

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + b* x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + b

f ( 0 ) = 3 
f ´´ ( 0 ) = 0  | Krümmung am Wendepunkt = 0
f ( 1 ) = 1
f ´ (1 ) = 0  | Steigung am Tiefpunkt = 0

4 Aussagen für 4 Unbekannte.
Kannst du das allein ?

Ansonsten wieder melden.

Zur Kontrolle
f(x) = x^3 - 3·x + 3

Comments

Von einem Wedepunkt ist nicht explizit die Rede. Die Aufgabe ist  missverständlich.

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doch doch, es hat dort einen wendepunkt, habs nur vergessen zu schreiben :)

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@ georgborn eine frage wie kommst du auf f ´´ ( 0 ) = 0 ?

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f(0) = 3      -->     d                      = 3

f´´(0) = 0   -->     6ax + 2b         = 0  -> ich weiß nicht was ich damit anfangen soll ....

f(1) = 1      -->     a + b  + c + 3  = 1

f´(1) = 0     -->     a + b + c         = 1

mach ich das richtig oder bin ich gerade total auf dem falschen gleis?

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beim letzten = 0

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@ georgborn eine frage wie kommst du auf f ´´ ( 0 ) = 0 ?
Richtig. Dies ist in der Aufgabenstellung nicht angegeben.
Ohne diese Angabe ist aber die Aufgabe nicht zu lösen.

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ok, wie mache ich denn jetzt weiter georgborn?

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Dann überprüfe ich einmal

f ( x ) = a*x³ + b*x² + c*x + d
f ´( x ) = 3 * a * x² + b* x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + b

f ( 0 ) = 3 
f ´´ ( 0 ) = 0  | Krümmung am Wendepunkt = 0
f ( 1 ) = 1
f ´ (1 ) = 0  | Steigung am Tiefpunkt = 0

f ( 0 ) =  a*0³ + b*0² + c*0 + d = 3  => d = 3
f  ´´ ( 0 ) =  6 * a * 0 + b = 0  => b = 0

f ( x ) = a*x³ + c*x + 3
f ´( x ) = 3 * a * x² + c

f ( 1 )  = a*1³ + c*1 + 3 = 1
f ´ ( 1 ) = 3 * a * 1^2 + c = 0

a  + c + 3 = 1

3 * a + c = 0
c = -3a

a  + c + 3 = 1
a -3a  = -2
-2a = -2
a = 1

c = -3a
c = -3*1
c = -3

f(x) = x³ - 3·x + 3

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ganz oben 2. Ableitung: 6 * a * x + 2 * b

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Richtig. Dort ist ein Fehler.
Da b aber relativ früh rausfliegt
f  ´´ ( 0 ) =  6 * a * 0 + 2 * b = 0  => b = 0

Hat der Fehler keinen Einfluß auf das Ergebnis.

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alles klar, dann habe ich das jetzt verstanden, danke schön :)

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Gern geschehen. Dazu ist das Forum ja da.

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a  + c + 3 = 1

3 * a + c = 0
c = -3a

hi kannst du das bitte erklären wie du auf mal 3 kommst

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Die berechnete Funktion stimmt.
Von einem Wendepunkt habe nicht gesprochen.
Hast du deine Frage zwischenzeitlich
geändert ?

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siehe oben
2 Aussagen sind übrig
a + c + 3 = 1
3 * a + c = 0

Die nächtse Zeile ergibt sich aus der 2.Aussage
c = -3a

Answer 2

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f(0) = 3

f '(0) = 0

f(1) = 1

f' '(1) = 0

Comments

Du hast Wendepunkt und Tiefpunkt vertauscht.

f ´´( 0 ) = 0
f ´( 1 ) = 0

Answer 3

Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in \(W (0 | 3)\) einen Wendepunkt und in \(T (1 | \red{1})\) einen Tiefpunkt hat.

Ich verschiebe den Graphen um \(\red{1} \)Einheit nach unten: \(T (1 | \red{1})\) → \(T ´(1 | 0)\)

\(f(x)=a\cdot(x-1)^2\cdot(x-N)\)

\(W (0 | 3)\)  →   \(W´ (0 | 2)\):

\(f(0)=a\cdot(0-1)^2\cdot(0-N)\) →  \(f(0)=a\cdot(-N))\)

\(a\cdot(-N)=2\)   →\(a=-\frac{2}{N}\)

\(f(x)=-\frac{2}{N}\cdot[(x-1)^2\cdot(x-N)]=-\frac{3}{N}\cdot(x^3-Nx^2-2x^2+2xN+x-N)\)

\(f´(x)=-\frac{2}{N}\cdot(3x^2-2Nx-4x+2N+1)\)

\(f´´(x)=-\frac{2}{N}\cdot(6x-2N-4)\)

Wendepunkteigenschaft:

\(W´ (0 | ...)\):

\(f´´(0)=-\frac{2}{N}\cdot(-2N-4)\)

\(-\frac{2}{N}\cdot(-2N-4)=0\)       \(N=-2\)      \(a=\frac{-2}{-2}=1\)

\(f(x)=(x-1)^2\cdot(x+2)\)

um \(\red{1} \)Einheit nach oben:

\(p(x)=(x-1)^2\cdot(x+2)+1\)