Äquivalenzrelation Unterraum

Question

Es sei U ⊂ Rn ein linearer Unterraum. Man soll zeigen, dass durch 

vRw genau dann,wenn v−w∈U 

eine Äquivalenzrelation auf Rn definiert ist.

Wie mach ich das am besten ? Kann mir das jemand erklären?

Answer 1

Du musst zeigen, dass sie Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv  ist.

1. reflexiv:

Es sei v ε V. Dann gilt v-v=0 ε U, da U ein Unterraum ist. Also gilt vRv. Somit ist R reflexiv.

2. symmetrisch:

Es sei v,w ε V und vRw. Dann gilt: v-w ε U. Da U ein Unterraum und somit multiplikativ mit einem Skalar  abgeschlossen ist, ist aber auch (-1)(v-w) ε U. Also ist w-v ε U und somit wRv. R ist also symmetrisch. 

3. transitiv:

Es sei v,w,u ε V und vRw und wRu.

Dann gilt: v-w ε U und w-u ε U  Da U ein Unterraum und somit additiv  abgeschlossen ist,  ist  auch  die Summe beider Vektoren in U, als (v-w)+(w-u) ε U. Also ist v-u ε U und somit vRu. R ist also transitiv. 

Comments

Können Sie mir auch die andere Richtung zeigen ?

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Hallo Sandra,

ich glaube das mit der anderen Richtung hast Du falsch verstanden.

       "v steht in Relation zu w genau dann, wenn v−w∈U"

    Das ist die Relation und da ist auch nichts zu zeigen !!!

Wenn diese Relation eine Äquivalenzrelation ist, dann müssen die drei Kriterien erfüllt sein und die müssen überprüft werden.

ich weiß nicht, ob ich mich richtig ausgedrückt habe.

Gruß

Answer 2

dass durch

vRw genau dann,wenn v−w∈U 

eine Äquivalenzrelation auf Rⁿ definiert ist.

Prüfe die drei Eigenschaften:

reflexiv:  Dazu muss für jedes a∈ℝⁿ gelten: aRa

Um das zu prüfen, musst du schauen, ob die Def. von R

hier zutrifft, also  für jedes a∈ℝⁿ gilten:     a-a  ∈ U

Da jeder Unterraum den Nullvektor enthält, trifft es zu, also

ist die Relation schon mal reflexiv.

Ähnlich für symmetrisch und transitiv überlegen.

Comments

Können Sie mir die rückrichtung zeigen?

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Wenn also R reflexiv ist, ist jedenfalls 0∈ U

Aus der Symmetrie ergibt sich wohl, dass für jedes u∈U

auch -u drin ist.

Und über die Transitivität bekommt man wohl die

Abgeschlossenheit von U gegenüber + gezeigt.

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Und die andere Richtung ?