Ungleichung mit zwei Brüchen aus x

Question

Hi,

ich versteh das Thema Ungleichungen hinsichtlich unterschiedlicher Fälle zwar nicht, dennoch möchte ich verstehen wie folgende Aufgabe gerechnet wird:
$$ \frac { 1 }{ x-1 }+\frac { 1 }{ 2x+2 } > 24 $$
Ist wer in der Lage mir dies zu erläutern?

Vg!

Comments

Ich hab da ein paar Fehler ausgebessert. Ist das soweit richtig?

Answer 1

Du musst hier zuerst mal die Brüche addieren, das geht so:

$$ \frac { 1 }{ x-1 } +\frac { 1 }{ 2x+2 } =\\ \frac { 2x+2 }{ \left( x-1 \right) \left( 2x+2 \right)  } +\frac { x-1 }{ \left( 2x+2 \right) \left( x-1 \right)  } = \frac { 2x+2+x-1 }{ \left( x-1 \right) \left( 2x+2 \right)  } =\frac { 3x+1 }{ \left( x-1 \right) \left( 2x+2 \right)  } $$

Nun muss man die Ungleichung lösen:
 

\frac { 3x+1 }{ \left( x-1 \right) \left( 2x+2 \right)  } >24\quad \quad \quad \quad \left| \quad \times  \right \left( x-1 \right) \left( 2x+2 \right) \\ 3x+1\quad >\quad 24\quad \times \quad \left( x-1 \right) \left( 2x+2 \right) \\ 3x+1\quad >\quad (24x-24)(2x+2)\\ 3x+1\quad >\quad { 48x }^{ 2 }+48-48x-48\\ 3x+1\quad >\quad { 48x }^{ 2 }-48x\\ 3x+1\quad >\quad 48({ x }^{ 2 }-x)\quad \quad \left| -1 \right \\ 3x\quad >\quad 48({ x }^{ 2 }-x)\quad -\quad 1\quad \left| \quad \div \quad 3 \right \\ x\quad >\quad 16({ x }^{ 2 }-x)\quad -\quad 1\quad \quad \left| -x \right \\ 0\quad >\quad 16{ x }^{ 2 }-2x-1\\ \\

Ich hoffe, das hilft!

Simon

Comments

Ich fürchte, du hast dich ziemlich verrechnet:

1) Die Addition der beiden Brüche ist noch korrekt. Dann aber multiplizierst du mit dem Nenner und übersiehst, dass du dabei darauf achten musst, das Ungleichheitszeichen umzukehren, wenn der Nenner negativ ist. Da du das Ungleichheitszeichen aber nicht umgekehrt hast, würde deine Rechnung (wenn sie denn richtig wäre) nur gelten für

( x - 1 ) * ( 2 x + 2 ) > 0

<=> 2 x ² - 2  > 0

<=> x ² > 1

<=> x < - 1 ODER x > 1

 

2) Der nächste Fehler tritt beim Übergang von Zeile 3 zu Zeile 4 auf:

Du rechnest: ( 24 x - 24 ) ( 2 x + 2 )  = 48 x ² + 48 - 48 x - 48 = 48 x ² - 48 x

Richtig ist: ( 24 x - 24 ) ( 2 x + 2 ) = 48 x ² + 48 x - 48 x - 48 = 48 x ² - 48

woraus sich letztendlich ergibt: 0 > 48 x ²- 3 x - 49

Diese Ungleichung gilt laut Wolfram Alpha aber nur für

-0,979596 < x < 1,0421

sodass in Verbindung mit der Voraussetzung für diesen Fall ( x < - 1 ODER x > 1 ) nur

1 < x < 1,0421 als Lösung in Frage kommt.

 

3) Schließlich muss man noch den Fall betrachten, dass

( x - 1 ) * ( 2 x + 2 ) < 0

<=> 2 x ² - 2 < 0

<=> x ² < 1

<=> -1 < x < 1

Auch für diesen Fall ergibt sich noch eine Lösung der gegebenen Ungleichung

---

Da hast du natürlich recht... Ich habe hier ein paar sehr viele Flüchtigkeitsfehler gemacht :-/  Ich bin leider nicht mehr ganz in Form.

Danke für die Korrekturen!

Grüsse

Simon

---

Hmm. Erstmal danke. Schaut gut aus. Dennoch weiss ich nun nicht was die korrekte Lösung darstellt. Nochmals danke euch beiden für die ausfuehrliche Hilfe. Vg

---

Nun, die Teillösungsmenge für den Fall, dass der Nenner ( x - 1 ) * ( 2 x + 2 ) positiv ist, ist:

1 < x < 1,0421

 

Für den Fall, dass der Nenner ( x - 1 ) * ( 2 x + 2 ) negativ ist (das ist der Fall für -1 < x < 1 ) gilt:

( 3 x + 1 ) / ( x - 1 ) ( 2 x + 2 ) > 24

<=> 3 x + 1 < 24 * ( x - 1 ) * ( 2 x + 2 ) 

<=> 3 x + 1 < 48 x ² - 48

<=> 48 x ² - 3 x - 49 > 0

<=> x ² - ( 1 / 16 ) x > 49 / 48

Diese Ungleichung hat laut WolframAlpha die Lösungsmengen:

x > 1,0421 ODER x < -0,979596

so dass in Verbindung mit der Voraussetzung für diesen Fall ( - 1 < x < 1 ) die zweite Teillösungsmenge 

- 1 < x < - 0,979596

ist.

Insgesamt ergibt sich als Lösungsmenge der gestellten Aufgabe also:

- 1 < x < - 0,979596 ODER 1 < x < 1,0421

Das sind zwei recht schmale Bereiche jeweils in unmittelbarer Nachbarschaft der beiden Polstellen - 1 und 1 des betrachteten Terms

1 / ( x - 1 ) + 1 / ( 2 x + 2 )

Hier ein Schaubild der Lösungsmenge:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28x-1%29%2B1%2F%282x%2B2%29%3E24+from-1.1to1.1

Die Lösungsmenge ist dargestellt durch die Punkte, die innerhalb der oberen "Spitzen" des blauen Graphen oberhalb des roten Graphen liegen, der die zu überschreitende Grenze 24 darstellt.