Hi,
den Ausdruck \( 2 |z|^2 + \operatorname{Re}(z) \) kann man mit \( z = a +ib \) schreiben als
$$ 2(a^2+b^2)+a $$
Für \( a \ge 0 \) ist klar, dass \( 2(a^2+b^2)+a \ge 0 \) gilt.
Ist \( a \le -\frac{1}{2} \) kann man \( a \) auch schreiben als \( a = -\frac{1}{2}-\epsilon \) mit \( \epsilon \ge 0 \)
Dann folgt aber $$ 2 \left(\frac{1}{4} + \epsilon + \epsilon^2 \right)+b^2 -\frac{1}{2}-\epsilon = \epsilon + 2 \epsilon^2 + b^2 \ge 0 $$ weil ja \( \epsilon \ge 0 \) gilt.
Bleibt noch der Fall \( -\frac{1}{2} < a < 0 \) zu untersuchen. Löst man die Gleichung \( 2(a^2+b^2)+a=0 \) nach \( b \) auf, bekommt man,
$$ b = \pm \sqrt{-\frac{a}{2}(2a+1)} $$ Also ist für den Bereich \( -\frac{1}{2} < a < 0 \) der Ausdruck größer Null, wenn gilt $$ \sqrt{-\frac{a}{2}(2a+1)} < b < -\sqrt{-\frac{a}{2}(2a+1)} $$
Die zweite Aufgabe beschreib einen Einheitskreis um den Ursprung der komplexen Ebene, weil \( \overline{z} = \frac{1}{z} \) identisch mit \( |z|^2 = a^2 + b^2 = 1 \) ist.
