Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn am größten?

Question

ein Produkt wird verkauft und ich habe dazu folgende Funktionen (x: Menge in Stück):

E(x) = 60x

K(x) = 0,03x³-2x²+50x+600

1.) Wie lässt sich rechnerisch der Break-Even-Point feststellen?
2.) Wie lässt sich rechnerisch feststellen, bei welcher Stückzahl der Gewinn am größten ist?

Comments

Hi

Das lässt sich mMn problemlos im Internet nachlesen https://de.wikipedia.org/wiki/Gewinnschwelle#Berechnung_des_Break-even-Points_allgemein

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Was mich allerdings noch wundert ist, wie man bei 2) auf  - 0.09·x² + 4·x + 10 kommt?

G(x) = E(x) - K(x) = 60·x - (0.03·x³ - 2·x² + 50·x + 600)
G(x) = - 0.03·x³ + 2·x² + 10·x + 600

1.Ableitung
G ´( x ) = - 0.09 * x^2 - 4 * x + 10
zur Bestimmung des Hochpunkts

Answer 1

Hallo Dramaqueen,

zur Beantwortung beider Fragen betrachtet man die Gewinnfunktion:

G(x) = E(x) - K(x)  = 60·x - (0.03·x³ - 2·x² + 50·x + 600)  =  - 0.03·x³ + 2·x² + 10·x - 600

a)   

Der BEP (= Gewinnschwelle)  ist die kleinste Produktionsmenge x₁, ab der (x > x₁) ein Gewinn erwirtschaftet wird. Das ist hier die erste positive Nullstelle von G(x).

G(x) = 0   ergibt (Rechner):  x₁ ≈ 16.988 

                               [ ∨ x = -17.5196 ∨ x = 67.19 ]     (#) 

Da die Produktionsmenge in "Stück" angegeben ist: x₁ ≈ 17

b)

Den maximalen Gewinn hat man beim Hochpunkt H(x_max | G_max)  von G(x)  bei der Produnktionsmenge x_max.

x_max  ist hier die positive Nullstelle der Ableitung von G' 

G'(x)  =  - 0.09·x² + 4·x + 10  =  0   →_pq-F    x_max  ≈ 46,818  

Wegen G(46) ≈ 1171.92 > 1173.31  ≈  G(47)     x_max  ≈ 46  [Stück !]

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(#)

Mit einem normalen TR kann man diese Nullstellen z.B. mit dem Newtonverfahren (Näherungsverfahren) ausrechnen.

Gruß Wolfgang

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Mönsch Wolfgang, deine Antworten waren auch schon mal bunter.
es ist Karneval.

:-O

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Erstmal vielen Dank für die genaue Erklärung!

Was mich allerdings noch wundert ist, wie man bei 2) auf  - 0.09·x² + 4·x + 10 kommt? 

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Das ist die erste Ableitung von G(x), erkennbar am ' hinter dem G.

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Danke, wir hatten bis jetzt noch keine Ableitung. Aber ich habe mich jetzt schlau gemacht und verstehe es jetzt. Danke für die Hilfe!

Answer 2

1)

G(x) = E(x) - K(x) = 60·x - (0.03·x^3 - 2·x^2 + 50·x + 600) = - 0.03·x^3 + 2·x^2 + 10·x - 600 = 0 --> x = 16.99 Stück ∨ x = 67.20 Stück

2)

G'(x) = - 0.09·x^2 + 4·x + 10 = 0 --> x = 46.82 Stück