Handwerker hat giftige Flüssigkeit getrunken - e-Funktion

Question

da ich bald Prüfung schreiben werde, muss ich diese Aufgabe erledigen

Leider hbae ich von e-Funktionen kaum Ahnung...

ich hoffe, dass mir hier geholfen werden kann :)

Ein Handwerker hat versehentlich aus einer Flasche mit einer giftigen Flüssigkeit getrunken. Eine erste Untesuchung ergibt eine Konzentration von 2 mg/dl im Blut. Bei einer Kontrolluntersuchung eine Stunde später sind es sogar 3 mg/dl. Man weiss, dass es ab 6mg/dl gefährlich wird. Ausserdem ist bekannt, dass die konzentration dem Gesetz h(t)=(at+b)*e^-0.1t gehorcht (t in Stunden, h in mg/dl).

a) Bestimmen Sie a und b
b) Berechnen Sie die Maximalkonzentration. Kommt der Handwerker in die Gefahrenzone?
c) Wann fällt die Konzentration am stärksten ab? (Hinweis:Wendepunkt)
Optional:
d) Nach welhcer Zeit ist die Ausgangskonzentration wieder erreicht? (Näherung)

Comments

"" um ≈ 00:30 :-O

---

Soll er etwa "Gute Nacht" sagen ?

---

Das ist eine denkbare Teilmenge der möglichen Aussagen. :D Macht meine Aufgaben, ich geh' pennen, gute Nacht :D

---

Vom Duplikat:

Titel: Exponentielle Prozesse Handwerker trinkt Gift

Stichworte: exponentiell

Ein Handwerker hat versehentlich aus einer Flasche mit einer giftigen Flüssigkeit getrunken. Eine erste Untersuchung ergibt eine Konzentration von 2 mikrogramm/dl im Blut. bei einer Kontrolluntersuchung eine Stunde später sind es schon 3 Mikrogramm/dl

Man weiß, dass es ab 6 Mikrogramm/dl gefährlich wird. Außerdem ist bekannt, dass die Konzentration dem Gesetz h(t)=(at+b)*e^(-0,1t) gehorcht.

t in Stunden, h in Mikrogramm/dl

a) bestimmen sie a und b

b) berechnen sie die Maximalkonzentration. Kommt der Handwerker in die Gefahrzone?

c) wann fällt die Konzentration am stärksten ab? (Hinweis:Wendepunkt)

d) nach welcher Zeit ist die Ausgangskonzentration wieder erreicht? (Näherung)

Mir geht es vor allem um die Ansätze und rechenwege, da ich verstehen möchte, wie man auf das Ergebnis kommt. Ich bin bei der Aufgabe echt am verzweifeln

Answer 1

a) Bestimmen Sie a und b.

h(0) = 2 --> b = 2

h(1) = 3 --> (a + 2)·e^{-0.1} = 3 --> a = 3·e^{0.1} - 2 = 1.316

h(t) = (1.316·t + 2)·e^{-0.1·t}

b) Berechnen Sie die Maximalkonzentration. Kommt der Handwerker in die Gefahrenzone?

h(t) = e^{-0.1·t}·(1.316·t + 2)

h'(t) = e^{- 0.1·t}·(1.116 - 0.1316·t) = 0 --> t = 8.480 h

h(8.480) = 5.636 μg/dl --> So schlimm wird's nicht werden ;)

c) Wann fällt die Konzentration am stärksten ab?

h''(t) = e^{- 0.1·t}·(0.01316·t - 0.2432) = 0 --> t = 18.48 h

d) Nach welcher Zeit ins wie Ausgangskonzentration wieder erreicht?

h(t) = (1.316·t + 2)·e^{-0.1·t} = 2 --> t = 30.47 h

Comments

Wie löst man denn d) also den Rechenweg? Wie man auf t=30,47 h kommt

Ich habe jetzt h(t)=2 gesetzt also:

2=(1,316t+2)*e^(-0,1t)

Weiter komme ich leider nicht :(

---

Wie löst man denn d) also den Rechenweg? Wie man auf t=30,47 h kommt

Mit einem Näherungsverfahren deiner Wahl.

Z.B. Intervallschachtelung oder Newtonverfahren.

---

Daran habe ich auch gedacht, nur leider blicke ich da überhaupt nicht durch. Hast du eine schnelle und einfache Erklärung dafür? Das wäre super lieb!

---

Wie das geht hatte ich dir doch bereits unter

https://www.mathelounge.de/709510/exponentielle-prozesse-modell

erklärt.

Skizze

Du fragst ja wo der Funktionswert den Wert 2 annimmt. Ein Graph ist ja quasi eine visualisierte Wertetabelle. Alles was du mit einem Graphen machen kannst geht also auch über eine Wertetabelle.

~plot~ (1.316·x + 2)·exp(-0.1·x);2;[[-1|32|-1|6]] ~plot~

---

Oh stimmt, vielen Dank! Jedoch gibt es ja bei dieser Aufgabe hier keine Skizze, das heißt, ich weiß ja gar nicht in welchem Bereich sich die gesuchte Zahl überhaupt befindet

---

Naja. Sicher ist es ein Wert t > 0 oder?

t = 18 würde ich auch noch mitnehmen.

Du könntest jetzt also z.B. das Intervall von 0 bis 24 nehmen. Dann würdest du merken das die Werte noch nicht bis 2 heruntergehen.

Spätestens dann nimmst du vielleicht das Intervall von 0 bis 48.

[0, 2;
4, 4.869204814;
8, 5.629193262;
12, 5.358847418;
16, 4.654926118;
20, 3.832695221;
24, 3.046671743;
28, 2.362349312;
32, 1.798102341;
36, 1.349136119;
40, 1.000766508;
44, 0.7354617695;
48, 0.5363161556]

Als nächstes kümmerst du dich also um das Intervall von 28 bis 32

[28, 2.362349312;
29, 2.209952610;
30, 2.065167595;
31, 1.927925665;
32, 1.798102341]

[30, 2.065167595;
30.1, 2.051105619;
30.2, 2.037119018;
30.3, 2.023207683;
30.4, 2.009371502;
30.5, 1.995610355;
30.6, 1.981924121;
30.7, 1.968312671;
30.8, 1.954775871;
30.9, 1.941313583;
31, 1.927925665]

[30.4, 2.009371502;
30.41, 2.007992012;
30.42, 2.006613273;
30.43, 2.005235285;
30.44, 2.003858046;
30.45, 2.002481557;
30.46, 2.001105817;
30.47, 1.999730828;
30.48, 1.998356588;
30.49, 1.996983097;
30.5, 1.995610355]

Solange weitermachen bis einem die Genauigkeit langt.

---

Vielen vielen vielen Dank!

Answer 2

h(t)=(a*t+b)*e^(-0,1*t)  t=0 h(0)=2

h(0)=2=(a*0+b)*e^(-0,1*0)=b*1=b

b=2h(1)=3=(a*1+2)*e^(-0,1*1)3=(a+2)*e^(-0,1)a+2=3/e^(-0,1)a=3/e^(-0,1)-2=1,3155..h(t)=(1,3155*t+2)*e^(-1*t)nun ableiten,um die Extrema zu bestimmen
siehe Mathe-Formelbuch,Differentaionsregeln,elementare Ableitungen

Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´
u=(1,3155*t+2) abgeleitet u´=du/dt=1,3155v=e^(-0,1*t)  abgeleitet v´=dv/dt=-0,1*e^(-0,1*t)  → Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung
h´(t)=1,3155*e^(-0,1*t)+(1,3155*t+2)*(-0,1)*e^(-0,1*t)  nun e^(-0,1*t) ausklammern
h´(t)=e^(-0,1*t)*(1,3155-0,13155*t-0,2
h´(t)=e^(-0,1*t)*(1,115-0,13155*t)h´(t)=0=...
Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0
e^(-0,1*t) kann nicht Null werden
0=1,115-0,13*tt=8,58..  bis auf Rundungsfehler
Den Rest schaffst du wohl selber.
Ich gebe privat Nachhilfe und solch eine Aufgabe kann ich in ca. 30 Minuten durchrechnen,kostet 5 Euro.
Hier Infos per Bild,vergrößern und /oder herunterladen

Text erkannt:

Different scan and partace to decos bactiodent from to to stropent and and to the Retences sectesses achere of the solotant degration ace colopeconation are are o contoran tom spercon colopestord
\( \left(a^{3}\right) d x \)
ansing Molumen caccioss shan clogetes staticestionsing and a alce and thes is and cancestegento so angle \( d \varphi \)
ceactes diver tesperent col alc reachates cersomals reat

Answer 3

$$  h(t)=(at+b)\cdot e^{-0.1t}  $$
$$  h(0)=2  $$$$  h(1)=3  $$
$$  2=(a \cdot 0)+b)\cdot e^{-0.1 \cdot 0}  $$
$$  3=(a \cdot 1+b)\cdot e^{-0.1 \cdot 1}  $$
$$  2=b $$
$$  3=(a +2)\cdot e^{-0.1 }  $$
$$  3\cdot e^{0.1 }=a +2  $$
$$  3\cdot e^{0.1 }-2=a  $$
$$ a=1,3155127542269428744351234794707$$

Comments

sollte doch wohl eher  a ≈ ...   heißen

---

$$  h(t)=(a \cdot t+b)\cdot e^{-\frac t{10}}  $$
Ableitung mit Produktregel:
$$  u'=a   $$    $$  v'= -\frac  {e^{-\frac t{10}}}{10}  $$
$$  h'(t)=a\cdot e^{-\frac t{10}}  -  (a \cdot t+b)\cdot\frac  {e^{-\frac t{10}}}{10}   $$
$$  h'(t)=0   $$ Nullstelle der Ableitung
$$  0=a\cdot e^{-\frac t{10}}  -  (a \cdot t+b)\cdot\frac  {e^{-\frac t{10}}}{10}   $$
$$a\cdot e^{-\frac t{10}} =  (a \cdot t+b)\cdot\frac  {e^{-\frac t{10}}}{10}   $$
$$a =  (a \cdot t+b)\cdot\frac  {1}{10}   $$
$$10a =  a \cdot t+b  $$
$$10a-b =  a \cdot t  $$
$$\frac{10a-b}a =   t  $$
$$  t =10 -\frac{b}a   $$

---

Genau ... gleich ist nur ungefähr ...

---

Wie genau kommt man denn auf b=2? Verstehe den rechenschritt nicht

---

@LilliAnni: Das hat dich doch bestimmt bei der andern Antwort inzwischen geklärt.