du hast
$$ \lim_{n\to\infty}((1+1/n)^{n})^{1/k}=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{n/k} $$
gemäß Potenzgesetz.
Substituiere nun
$$ z=n/k,\quad 1/n=1/(zk) $$
Läuft n gegen unendlich, so strebt auch z gegen unendlich, da k nur konstant ist .
Daher kann man nun den Limes von z gegen unendlich betrachten und es ergibt sich
$$ \lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{n/k} =\lim_{z\to\infty}(1+\frac{1}{zk})^z\\=\lim_{z\to\infty}(1+\frac{\frac{1}{k}}{z})^z=e^{1/k} $$
