Letzter Teil Konvergenzbeweis n-te Wurzel aus a geht gegen 1 für 0 < a < 1

Question

also ich möchte beweisen: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a} = 1, a \in \mathbb{R}, a > 0, n \in \mathbb{N}$$.

Für a = 1 und a > 1 habe ich es bewiesen. Mir fehlt nur noch der Beweis für 0 < a < 1. Komme da leider auf keinen sinnvollen Ansatz.

Hat jemand einen Tipp, wie ich das angehen kann?

Danke,

Thilo

Comments

Kann man es nicht einfach so begründen?

$$\sqrt[n]{a} = e^{ln(\sqrt[n]{a})} = e^{ln(a^{\frac{1}{n}})} = e^{\frac{1}{n} \cdot ln(a)}$$

und $$\lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n} \cdot ln(a)} = e^{0 \cdot ln(a)} = e^0 = 1$$

ln(a) und e sind ja Konstanten, also sollte das doch gehen?!

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Ich nenne deine Folgenglieder mal xn. Für 0<a<1 gilt doch

yn: = 1/xn  geht gegen 1, da yn= 1/(a)^{1/n} = (1/a)^{1/n} = b^{1/n} wobei b > 1 und da hast du das ja offenbar schon bewiesen.

Weil xn = 1/yn

gilt (da alles definiert)

lim (xn) = 1/(lim (yn)) = 1/1

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Stimmt. So gehts. Danke :) Mit dem e^{...} ists aber einfacher :D Aber wir sollten eigentlich eine Fallunterscheidung machen. Also danke ^^

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Bitte. Weil du sagst, dass das stimmt, ist das jetzt eine Antwort.

Answer 1

Ich nenne deine Folgenglieder mal xn. Für 0<a<1 gilt doch

yn: = 1/xn  geht gegen 1, da yn= 1/(a)^1/n = (1/a)^1/n = b^1/n wobei b > 1 und da hast du das ja offenbar schon bewiesen.

Weil xn = 1/yn

gilt (da alles definiert)

lim (xn) = 1/(lim (yn)) = 1/1