Beweisen Sie, dass die Folge (n-te Wurzel aus n) gegen 1 konvergiert

Question

Beweisen Sie, dass die Folge ⁿ√n gegen 1 konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst: ⁿ√n ≤ 1+(2/√n)

Ich weiss nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll. Wir haben in der Vorlesung das Einschließungskriterium eingeführt. Das wäre jetzt meine einzige Idee, dass man die Aufgabe vielleicht damit lösen kann. Aber einen konkreten Ansatz, auch was den Hinweis betrifft, hab ich leider nicht.

Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen!

Comments

Hier: https://www.mathelounge.de/398892/beweis-n-te-wurzel-aus-n-geht-gegen-1 hat Wolfgang ein schönes Video verlinkt:

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Vom Duplikat:

Titel: Beweisen sie dass lim n -> unendlich n√n= 1

Stichworte: bernoulli,ungleichungen

Die Aufgabe lautet:

Beweisen sie dass lim n -> unendlich n√n= 1 in folgenden Schritten :

a) Zeigen Sie zunächst, dass für n ∈ℕ gilt : 1≤ ^n√2n≤ 1+ 1/√n

Wenden sie zum Beweis der zweiten Ungleichung die Bernoullische Ungleichung auf x= ^n√2n-1 an

b) Zeigen sie mithilfe von a) und der ε-ℕ Definition, dass lim -> unendlich = 1.

c) Folgern Sie als b) auf die Behauptung

Die erste Ungleichung habe ich hinbekommen. Ich weiß gerade nicht wie ich mit der Bernoullischen Ungleichung umgehen soll, bzw. wie da der Ansatz sein soll. Kann mir da jemand einen Tipp geben?

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Falls die zweite Ungleichung \(\sqrt[n]{2n}\le1+\tfrac1{\sqrt n}\) lautet, ist sie falsch.

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https://www.mathelounge.de/417732/beweisen-sie-dass-die-folge-te-wurzel-aus-gegen-konvergiert

Ist es das was Du suchst?

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@bimmel: Bitte orientiere dich an den vorhandenen Schreibweisen. Du hast etwas Falsches hingeschrieben.

Antwort vgl. weiter unten.

Answer 1

für \(n>1\) gilt nach dem binomischen Lehrsatz$$\quad\left(1+\frac2{\sqrt n}\right)^{\!n}=\sum_{k=0}^n\binom nk\cdot\left(\frac2{\sqrt n}\right)^{\!k}>1+\binom n2\cdot\left(\frac2{\sqrt n}\right)^{\!2}$$$$=2n-1>n.$$Die Aussage folgt nun nach besagtem Kriterium aus$$1<\sqrt[n]n<1+\frac2{\sqrt n}.$$MfG

Comments

Woraus folgt das > in der zweiten Zeile?

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Hab es verstanden. 
Aber wie kommt man nach >... auf 2n-1?

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Ersetze den Binomialkoeffizienten \(\binom n2\) durch \(\frac12n(n-1)\) und fasse zusammen.

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ok. Aber wie kommt man darauf, dass "n über 2" =0,5n*(n-1) ist. Hinnehmen will ich das auch nicht einfach. Kannst du vielleicht noch kurz erklären wie man darauf kommt?

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Nach Definition der Binomialkoeffizienten gilt$$\binom n2=\frac{n!}{2!\cdot(n-2)!}.$$Nun ist \(n!=\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdots(n-2)}_{(n-2)!}\cdot(n-1)\cdot n\), also$$\binom n2=\frac{(n-2)!\cdot(n-1)\cdot n}{2\cdot(n-2)!}\overset{\textsf{ kürzen }}=\frac12(n-1)\cdot n.$$

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Hab es nun verstanden, auch wenn ich den Beweis wohl selber nicht hingekriegt hätte !