Gleichmäßige Stetigkeit 1/x auf verschiedenen Intervallen

Question

Wir sollen folgendes beweisen:

1. ∀ η ∈ (0, 1), f(x) = 1/x auf [η, 1) gleichmäßig stetig ist,

 2. f(x) = 1/x auf (0, 1) nicht gleichmäßig stetig ist.

Aber wenn ich in 1. mit η ganz nah an die 0 rangehe habe ich doch auch das offene Intervall (0,1) wie in 2.

Wie kann das dann einmal gleichmäßig stetig sein und einmal nicht?

Answer 1

f ist auf [η, 1) beschränkt aber auf (0, 1) unbeschränkt. Dabei ist es vollkommen gleichgültig, wie nah η an 0 dran ist. η = 0 ist natürlich nichgt erlaubt, weil 0 nicht zum Definitionsbereich von f gehört.