Ebenengleichung zwei Punkte, die in der Ebene 0 liegen

Question

 Kann mir einer bitte weiterhelfen

Danke Schonmal

Answer 1

Gib zwei Lösungen der Gleichung 3(x-1) + 2(y - (-1)) + 0·(z - (-2)) = 0 an.

Comments

was soll ich machen ?

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Du sollst für x,y,z Zahlen finden, dass die Gleichung eine wahre Aussage darstell!

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Hallo hajzu,

Schaue Dir mal an, wie die Ebene aussieht:

(klick auf das Bild)

Der grüne Vektor ist der Stützvektor \((1|-1|2)^T\) und der rote Vektor ist der Normalenvektor der Ebene (\(3|2|0)^T\). Ich habe Dir dort einige Punkte beispielhaft eingezeichnet. Falls Du Fragen hast, so hake nach. Füge selbst einige weiter Punkte hinzu. Du kannst dann selber prüfen, ob sie wirklich in der Ebene liegen.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

der UP tritt einen Rattenschwanz an Fragen los und dann das.

Dann einen +, aber das Clipping des Geoknecht ist gewöhnungsbedürftig ;-), jedenfalls wenn man mit Firefox darfschaut.

Vielleicht sollte man auf wiederholten Wunsch eines einzelnen Users ein Standard-Werkzeug wie GeoGebra einführen?

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Hallo Wächter,

Leider verstehe ich Deinen Kommentar nicht. Was ist 'UP'? Und wo ist der Rattenschwanz von Fragen?

Du schriebst weiter: "Dann einen +, .." Ich vermute, Du meinst den Daumen - oder? Aber was hat das mit dem 'Clipping des Geoknecht' zu tun? Ich benutze den Feuerfuchs, aber habe damit keine Probleme.

Geogebra ist ok. Weiß aber nicht, ob das als Online-Tool hier so einfach integrierbar ist.

Gruß Werner

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ich verstehe das immernoch nicht leider

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Hallo hajzu,

kannst Du eine konkrete Frage stellen, was genau Du nicht verstehst. Erkennst Du dies

$$\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 0\end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\right)= 0$$

als Ebenengleichung?

Kannst Du obige Vektorgleichung in das hier

$$3x + 2y + 0z=1$$ umformen?

Gruß Werner

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1. Was bedeutet Ebene \(E: \begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\right) = 0\)?

   Das bedeutet, dass der Punkt \(P(x|y|z)\) genau dann in der Ebene \(E\) liegt, wenn der Ortsvektor \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) von \(P\) die Gleichung \(\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\right) = 0\) erfüllt.

2. Wie löst man denn dann die Gleichung \(\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\right) = 0\) nach \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) auf?

   1. Zunächst rechnet man die die Vektorsubtraktion aus. Dadurch bekommt man die Gleichung \(\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-1\\y+1\\z+2\end{pmatrix} = 0\).
   2. Dann rechnet man das Skalarprodukt aus. Dadurch bekommt man die die Gleichung \(3\cdot(x+1)+2\cdot(y+1)+0\cdot(z+2) = 0\).
      
   3. Dann löst man die Gleichung.$$\begin{aligned} 3\cdot(x+1)+2\cdot(y+1)+0\cdot(z+2) & =0\\ 3\cdot(x+1)+2\cdot(y+1) & =0\\ 3x+3+2y+2 & =0\\ 3x+2y+5 & =0\\ 2y & =-3x-5\\ y & =-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2} \end{aligned}$$
      
   4. Jetzt verwendet man die Lösung der Gleichung um einen Punkt der Ebene zu bestimmen.
      1. Denke dir eine Zahl für \(x\) aus.
      2. Setze sie in die Gleichung \(y  =-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}\) ein.
      3. Berechne \(y\).
      4. Denke dir eine Zahl für \(z\) aus.
      5. Die drei Zahlen sind jetzt die Koordinaten eines Punkte in der Ebene \(E\).
         

Answer 2

Hallo Hajzu, 

wenn du  [3, 2, 0 ] * ( [x, y, z]  -  [1, -1, -2] ) = 0  links ausrechnest, erhältst du:

3x + 2y - (3 - 2) = 0   ⇔  3x + 2y = 1  

Da z in der Gleichung nicht mehr vorkommt, kann die z-Koordinate beliebig sein. 

Jetz kannst du noch x oder y beliebig wählen und die andere Koordinate passend ausrechnen, z.B.:

x = 0  →  y = 1/2

alle Punkte (0 | 1/2 | z)  mit beliebigem z    liegen also in der Ebene  (und andere, denn man könnte ja auch ein anderes x oder y wählen!))

Z. B.  P₁ (0 | 1/2 | 0 )   ;   P₂ ( 0 | 1/2 | 1 ) 

Du kannst aber auch (für jeden Punkt) für zwei der Koordinaten x,y und z beliebige Werte wählen, diese in die Ausgangsgleichung einsetzen und die dritte Koordinate passend dazu ausrechnen.

Gruß Wolfgang

Comments

ist die aufgabe so gelöst 

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Ich verstehe das immernoch nicht können sie mir das bitte zeigen 

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in meiner Gleichung 

E:  [3, 2, 0] * ( [x, y, z]  -  [1, -1, -2] ) = 0   

sind die Vektoren (statt als Spalte ) als Zeile geschrieben.

z.B.  \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)   =  [3, 2, 0]

Weißt du, wie man Vektoren miteinander multipliziert (Skalarprodukt) ?