Grenzwert von n-ter Wurzel

Question

die Aufabe ist : $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n +n^4 + \frac{3}{n}} $$

das Ergebnis ist 2, ich hätte aber gedacht es wär 0, da n^4 doch schneller steigt als 2^n und die n-te Wurzel(n) = 0 ist. Könnte mir das jemand erklären ? Am besten auch mit einer besseren Strategie da ran zu gehen, meine war bisher immer sehr vage ^^

Vielen Dank schonmal

Comments

\(2^n\ge n^4\) für alle \(n\ge16\).

Answer 1

 

2ⁿ + n⁴ + 3/n   =  2ⁿ · ( 1 +  (n⁴ + 3/n) / 2ⁿ ) 

 lim_n→∞ [ (n⁴ + 3/n) / 2ⁿ  ]  = 0    (4-mal Hospital anwenden)

lim_n→∞  ⁿ√( 2ⁿ + n⁴ + 3/n )    =  lim_n→∞  ⁿ√(2ⁿ) = 2

Gruß Wolfgang

Comments

Na ja, die Funktion ist zunächst mal nicht stetig...

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Selbstverständlich bezieht man sich auf die Funktion

f: [1, ∞ [  → ∞ ,  f(x) = 2^x + x⁴ + 3/x  

Und alle Punkte von

f_e: ℕ → ℝ  , f_e(n) = 2ⁿ + n⁴ + 3/n    liegen auf G_f  

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x^4 statt n^x, nehme ich mal an.

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ja, ist korrigiert, danke für den Hinweis.

Answer 2

2^n wächst viel schneller als n^4, da n dort im Exponenten steht.

Grob gesagt steht dann dort

$$ \sqrt[n]{2^n +n^4+2n}\approx \sqrt[n]{2^n }=2 $$

für n gegen Unendlich.

Genauer kann man es mithilfe des Sandwitchkriteriums zeigen.

Answer 3

Meiner Meinung nach lässt sich der Grenzwert auch so ermitteln:

$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n\:]{2^n + n^4 + \dfrac 3n} = 2 \cdot \lim_{n\to\infty}\sqrt[n\:]{1 + \dfrac{n^4}{2^n} + \dfrac {3}{n \cdot 2^n} } = 2 \cdot 1 = 2 $$

Comments

wobei du natürlich an meiner Antwort nichts Wesentliches verändert hast, außer dass du

n⁴ / 2ⁿ   →  0  einfach vorausgesetzt hast, was durchaus nicht verwerflich ist.

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Ja, ich weiß. Zweifelt man an n⁴ / 2ⁿ → 0, müsste man da noch mal mit dem Schraubenzieher ran. Allerdings ist das auch so ein Grenzwert, der einem irgendwie schon zu Schulzeiten, nämlich spätestens bei den Eigenschaften von Exponentialfunktionen, als unverrückbare Wahrheit nahegelegt wird.

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> ... da n^4 doch schneller steigt als 2^n   (FS)

soviel zu "unverrückbare Wahrheiten"

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Ja, das habe ich auch gelesen. Unter diesen Voraussetzungen ist es nicht so einfach. Eine elegante Abschätzung nach oben, mit der die mehrfache Anwendung der Regel von de l’Hospital umgangen werden könnte, ist mir leider auch nicht eingefallen.