Polynome ohne Nullstelle für jeden Grad

Question

ich bin gerade leider etwas am verzweifeln bei meinem Übungszettel.

Die Aufgabe lautet:

Sei K = Z/2Z. Finden Sie im Polynomring K[x] für jedes d ∈ N mit d ≠ 1 ein Polynom mit deg(p) = d, welches keine Nullstelle in K besitzt.

Meine Überlegungen:

Der Körper Z/2Z hat nur die Elemente 0,1,x.

Für die "geraden Grade" ist es recht offensichtlich meiner Meinung nach:

2.Grad: x²+1 ; 4.Grad: x⁴+1 etc.

Meine Frage:

WIe sieht es mit den "ungeraden Graden" aus? sprich x³ ; x⁵ etc.

Haben die nicht immer eine Nullstelle?

Ich bin über jede Hilfe dankbar! Mfg Kaluza

Comments

Der Körper Z/2Z hat nur die Elemente 0,1,x.

...nur die Element 0 und 1.

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jap da hast du recht, der Körper Z/2Z hat nur die Elemente 0,1.

Müsste der Polynomring mit dem Körper dann nicht trotzdem die Elemente 0,1,x haben?

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Der Polynomring über diese Körper hat die Element 0, 1 und x, sowie noch viele andere.

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Für \(f(x)=x^2+1\) gilt \(f(1)=1+1=0\). \(p(x)=x^d+x+1\) hat keine Nullstelle.

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@nn: Es muss \(d\ne1\) vorausgesetzt werden.

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Steht bereits oben.

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super jetzt hab ich es auch verstanden :)

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Ja ich weiß, deswegen habe ich es ergänzt.

Mit \( p(x)  = x^a + x^b + x^0 \) für natürlich a, b mit \(ab \ne 0\) lassen sich weitere nullstellenfreie Polynome basteln.

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Vom Duplikat:

Titel: Grad eines Polynoms bestimmen. Was ist hier K = ℤ/2ℤ?

Stichworte: polynom,grad,nullstellenberechnung

ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen:

Sei K = ℤ/2ℤ.Finden Sie im Polynomring K[x] für jedes d ∈ ℕ mit d≠1 ein Polynom mit deg(p) = d, welches keine Nullstelle in K besitzt.

Leider verstehe ich nicht wirklich, womit ich es hier zutun habe. Was ist K = ℤ/2ℤ und wie kann ich mir das vorstellen ? Ich stehe hier gerade irgendwie auf dem Schlauch und weiß nicht so genau wo ich überhaupt anfangen soll.

Vielleicht kann mir jemand erklären, was ich hier zutun habe.

Grüße

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Was sagt denn die Vorlesung bzw. das Skript dazu was ein Polynom ist, was sein Grad ist, was ein Polynomring ist und was K = ℤ/2ℤ sein soll?

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Schau hier: https://www.mathelounge.de/490867/polynome-ohne-nullstelle-fur-jeden-grad.

Answer 1

d=3: x^3 + x^2 + 1

                            

Answer 2

Was ist K = ℤ/2ℤ ? Das ist der Körper mit den 2 Elementen 0 und 1.

Und wenn du etwa für d=2 so ein Polynom suchst, dann muss das, da es nur

zwei Körperelemente gibt, damit der Grad = 2 ist, schon mal mit   p(x) = 1*x² beginnen.

Wenn es so bliebe wäre zwar p(1)=1 aber p(0)=0 , also gäbe es doch eine Nullstelle.

Also müssen wir noch etwas nachbessern:   p(x) = x²  + x    da wäre sogar in

beiden Fällen  p(1) und p(0) das Ergebnis 0. Na prima, dann hängen wir noch +1

an und es passt    p(x) = x²  + x    + 1   hat Grad=2 und keine Nullstelle in K.

Probier es mal mit d=3 , d=4 etc. Dann siehst du schon wie der Hase läuft.