a) Seien
A={λ(2,2,0) Ι λ ∈ℝ} B={λ(-2,2,0) Ι λ ∈ℝ},
C={λ(1,0) Ι λ ∈ℝ} D={λ(-1,0) Ι λ ∈ℝ}
A,B sind Untervektrorräume des ℝ3 und C,D sind Untervektorräume des ℝ2 . Bestimmen Sie A+B und C+D.
b) Zeigen Sie, dass das Ergebnis einer Untervektrorraum-Summe wieder ein Untervektrorraum ist.
c) Zeigen Sie, dass im Allgemeinen U1 ∪ U2 ≠ U1 + U2 ist.
Gilt zumindest eine Teilmengenbeziehung?
Welche Bedingung äquivalent dafür. dass die Gleichheit trotzdem gegeben ist? Beweisen Sie Ihre Antwort.
zu a) Da die Untervektorraum-Summe wie folgt aussieht:
U1+U2+...+Un := {u1+u2+...+un Ι u1∈ U1...un ∈ Un}
müsste dann gelten:
A+B = (2λ,2λ,0λ) + (-2λ,2λ,0λ)
= 0λ +4λ +0λ
= 4λ in ℝ3
C+D = (1λ,0λ) + (-1λ,0λ)
=0λ + 0λ = 0λ in ℝ2
oder habe ich da einen Denkfehler?
zu b)
Wenn K ein Körper und V ein K-VR ist
so sind dann u1 ...un ⊂ V Untervektorräume von V
Dann müsste gelten, dass die in a) ausgerechneten Ergebnisse, Teilmengen von einem Untervektorraum sein müssen.
Nur wie zeigt man dies formal?
zu c) da habe ich leider keinen Ansatz zu
kann mir dabei jemand weiterhelfen?
