Überabzählbarkeit von reellen Zahlen

Question

ich komme momentan nicht an der Aufgabe weiter und hoffe auf Hilfe.

a) Sei f: ℕ → [0,1] eine Abbildung. Konstruieren Sie induktiv eine Intervallschachtelung (I_n)_n, I_n ⊂ [0,1], mit der Eigenschaft, dass f(n) ∉ I_n für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie damit, dass die Abbildung f nicht surjektiv ist

b) Folgern Sie aus a), dass ℝ überabzählbar ist

Answer 1

Fange an mit \(I_0=[0,1]\). Zerlege für \(n=1,2,3,\ldots\) jeweils \(I_{n-1}\) in drei Teile gleicher Laenge. Waehle als \(I_n\) einen Teil aus, in dem \(f(n)\) nicht liegt. Der gemeinsame Punkt aller \(I_n\) heisse \(\xi\). Folgere \(f(n)\ne\xi\) für alle \(n\).