Hi, es gilt
$$ \mathbb{E}(X_i) = p \text{ und } \mathbb{Var}(X_i) = p(1-p) $$
Weiter gilt $$ \mathbb{E}(Y_i) = 2 \mathbb{E}(X_i) - 1 = 2p-1 $$ und
$$ \mathbb{Var}(Y_i) = 4 \mathbb{Var}(X_i)=4p(1-p) $$
Damit gilt
$$ \mathbb{E}(Z) = \rho\cdot\mathbb{E}(Y_1) + \sqrt{1-\rho^2}\cdot\mathbb{E}(Y_2) = (2p-1) \left( \rho + \sqrt{1-\rho^2} \right) $$
Für die Varianz gilt dann
$$ \mathbb{Var}(Z) = \rho^2 \cdot \mathbb{Var}(Y_1) + (1-\rho^2)\cdot \mathbb{Var}(Y_2) = 4p(1-p) $$
Für die Korrelation gilt
$$ \mathbb{Corr}(Z,Y_1) = \mathbb{E} \left\{ \ [Z-\mathbb{E}(Z)]\cdot[Y_1-\mathbb{E}(Y_1)] \ \right\} = \\ \mathbb{E} \ \{ \ [\rho (Y_1 - \mathbb{E}(Y_1))+\sqrt{1-\rho^2}(Y_2-\mathbb{E}(Y_2)) ] \cdot [Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)] \} = \\\rho \cdot \mathbb{Var}(Y_1) + \sqrt{1-\rho^2}\mathbb{Corr}(Y_2,Y_1)$$ weil \( \mathbb{Corr}(Y_2,Y_1) = 4 \cdot \mathbb{Corr}(X_1,X_2) \) gilt und \( \mathbb{Corr}(X_1,X_2) = 0 \) gilt, wegen der Unabhängigkeit von \( X_1\) und \( X_2 \) folgt
$$ \mathbb{Corr}(Z,Y_1) = 4\rho p(1-p) $$
