Halbwertszeit berechnen efunktionen

Question

Und Hallo wie berechne ich die Halbwertzeit einer e funktion

Zb f(x) = 2 e^{ln(0,5) x} 

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Wie lautet die Aufgabe?

e^{(ln0,5)*x} = 0,5^x

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Achtung: Du hast einen Caret-Konflikt ^ ....

Answer 1

Es die Zeit gesucht, nach der die Funktion, ausgehend von einem Startpunkt, nur noch den halben Wert hat. Also im Beispiel

$$ f(x+\tau) = \frac{1}{2} f(x) $$ Das bedeutet

$$ f(x+\tau) = 2 e^{\ln\left( \frac{1}{2} \right)(x+\tau)} = e^{\ln\left( \frac{1}{2} \right)x} = \frac{1}{2} f(x) $$

Beide Seiten logarithmieren ergibt $$  \ln(2)+\ln\left( \frac{1}{2} \right)(x+\tau)= \ln\left( \frac{1}{2} \right)x $$ und daraus

$$ \ln\left( \frac{1}{2} \right)\tau = -\ln(2) = \ln\left( \frac{1}{2}\right) $$

Also \( \tau = 1\)

Comments

Was ist das für ein zeichen  f(x+??? )

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Der griechische Buchstabe Tau \( \tau \). Wird häufig für die Halbwertzeit genommen und ist, wie gesagt, eine Zeitangabe.