Ist F(z)=Re(z) bijektiv?

Question

ich habe die FKt.  f : ℂ → ℝ, z ↦ Re(z)  und muss überprüfen, ob diese Inj. oder surjektiv bzw. bijektiv ist.

Zur Inj. habe ich :  f(z1) = f(z2)  => Re(a1 +ib1) = Re(a2 +ib2)  => a1 = a2.  Ist dieses nun ausreichend für injektiv?

WIe die Surjektivität abläuft weiß ich leider nicht.

Danke

Answer 1

Zur Inj. habe ich :

Vielleicht noch vorher : Seien z1= a1 +ib1 und z2=a2 +ib2 aus C mit f(z1) = f(z2)

  => Re(a1 +ib1) = Re(a2 +ib2)  => a1 = a2.  Ist dieses nun ausreichend für injektiv?   NEIN

denn es müsste ja   z1 = z2 folgen. Tut es aber nicht ; denn z.B f( 1+i ) = f( 1 +2i ) 

aber  1+i ≠ 2+2i.

surjektiv:  Sei a ∈ ℝ . Dann ist z. B.  f( a + i ) = Re(a+i) = a , also f surjektiv.

Comments

Danke dir, das mit dem komplexen hat mich doch etwas verwirrt

Answer 2

zwei verschiedene Zahlen aus ℂ  können den gleichen Realteil (also den gleichen Funktionswert)  haben. Also ist f nicht injektiv.

Die Menge der Realteile aller komplexen Zahlen (also die Menge aller Funktionswerte) ist die Zielmenge ℝ. Also ist f surjektiv.

Gruß Wolfgang