Definitionsbereich + Wertebereich? g(x) = x /(x^2+1) und h(x)= √x^2-1

Question

Bitte um eine ausführliche Erklärung. Danke.

Ich soll den Definitionsbereich und den Wertebereich der folgenden Funktionen ermitteln:
g= x /(x^2+1)
h= √x^2-1

Comments

Bei h hast du vermutlich die Klammern vergessen:

h= √(x^2-1)  

Ohne die Klammer ist -1 nicht unter der Wurzel. 

Answer 1

g(x) ist in ganz R definiert (keine Einschräkungen, da Nenner immer positiv)

D = R , W = [ -1/2 ; 1/2 ]

h(x):

Es muss gelten; x^2-1>=0 --> x^2>=1 --> |x| >=1 -> x>=1 v x<=-1

D= ]-oo;-1] vereinigt mit [1;+oo[

W = [0;+oo[ = R_(≥0)

Answer 2

g ( x ) = x / ( x²+1 )

lim x −> ∞ [ x / ( x²+1 )  ] = [ x / x^2 ] = 1 / x = + 0
lim x −> -∞ = 1 / x = - 0

g ´ ( x ) = ( 1 * (  x^2 + 1 ) -  x * 2 * x ) / ( x^2 + 1 ) ^2
g ´ ( x ) = ( x^2 + 1  -  2 * x ^2 ) / ( x^2 + 1 ) ^2
g ´ ( x ) = ( 1 -  x ^2 ) / ( x^2 + 1 ) ^2

Extrempunkte
( 1 - x^2 = 0
x = +1
und
x = -1

g ( 1 ) = 1 / 2
g ( -1 ) = - / 2

D = ℝ
W = [ -1/2 ; 1/2 ]