Winkel zwischen Ebene und Gerade

Question

In der Ebene IR^3 ist die Ebene z=5 gegeben. Jetzt muss die unbekannte "a" bestimmt werden, so dass die gerade g: r ( λ)=(-9;2;-2)+ λ(8;7;a) die Ebene in einem Winkel von 25 Grad schneidet. 

Ps: z ist doch dann (0;0;5) wenn ich mich nicht irre oder? 

Answer 1

> z ist doch dann (0;0;5) wenn ich mich nicht irre oder?

Nein, z ist eine Variable, die in der Gleichung z=5 vorkommt. (0;0;5) = 5 ergibt keinen Sinn, weil links ein Vektor steht und rechts eine Zahl. Also kann z nicht 5 sein.

Die besagte Ebene ist die Ebene, die parallel zur xy-Ebene verläuft und durch den Punkt (0;0;5) verläuft. Eine Parameterdarstellung der Ebene ist

        E(λ, μ) = (0;0;5) + λ(1;0;0) + μ(0;1;0).

> dass die gerade g: r ( λ)=(-9;2;-2)+ λ(8;7;a) die Ebene in einem Winkel von 25 Grad schneidet

Bestimme einen Vektor n, der senkrecht auf der Ebene steht. Die Gerade soll dann zu dem Vektor n in einem Winkel von 90°-25° = 65° stehen. Insbesondere muss dann der Richtungsvektor v = (8;7;a) von g in einem Winkel von 65° zu n stehen. Setzt man in die Formel

        cos(α) = (a · b) / (|a| · |b|)

für den Winkel α zwischen den Vektoren a  und b ein, ergibt dies

        cos(65°) = (n · v) / (|n| · |v|).

Löse diese Gleichung.

Comments

Auch dass du mich verbessert und es erklärst :-)

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Hätte nur eine Frage bezüglich des normalvektors , der wird ja mit dem richtungsvektor gebildet, allerdings hat dieser doch eine unbekannte 

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> der wird ja mit dem richtungsvektor gebildet

Der wird aus den Richtungsvektoren gebildet, und zwar aus denen der Ebene, zu der der Normalenvektor orthogonal sein soll.

Bei einer Ebene, die parallel zur xy-Ebene verläuft, kann man den Normalenvektor aber auch durch anschauliche Überlegungen angeben.

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könntest du genauer zeigen wie es mit der Rechnung funktioniert, so ganz habe ich's nicht verstanden wie ich es rechnen soll..

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Wie weit bist du denn gekommen? Hast du den Normalenvektor schon bestimmt? Hast du ihn schon in die Formel eingesetzt. Hast du v schon in die Formel eingesetzt?

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also welchen normalenvektor meinst du mit n, den von der ebene oder von der gerade ? und welchen Vektor meinst du mit v?

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> also welchen normalenvektor meinst du mit n

Das steht explizit in meiner Antwort.

> und welchen Vektor meinst du mit v?

Das steht jetzt auch explizit in meiner  Antwort.

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ja ok habe das jetzt in die Formel eingesetzt aber ich kann das dich auflösen..

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Hast du das Skalarprodukt schon ausgerechnet? Hast du die Beträge schon ausgerechnet?

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das Ergebnis vom skalarprodukt ist (5;7;3a)

und die beträge lauten - √11 * √5^2+7^2+a^2

weiter komm ich nicht und mein Winkel ist 53°

Answer 2

Hm,

die Aufgabe lässt sich doch stark vereinfachen. Legen wir den Richtungsvektor r der Geraden platt in die z=0 Ebene r'=(8,7,0), Der Schnittwinkel g >< X=5 und g >< x=0 ist der gleiche. Dann reduziert sich die Berechnung auf die Bestimmung des Winkel zwischen r und r'.

r*r' = |r|*|r'|*cos(25°)

umstellen a == +-(4.96)