Wie finde ich das Inverse der Matrix?

Question

ich soll zeigen, dass meine Gruppe G mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Soweit habe ich alles dafür bis auf das Inverse der Matrix. ich bekomm einfach nicht raus wie ich die berechne.

Meine Gruppe G sieht wie folgt aus: G={(a b | a,b Element von R, a != 0}                                                                                                                                                            0 a)

Als neutrales Element hab ich Die Einheitsmatrix mit 2x2 wenn ich nicht falsch liegen sollte.

Heißt ich brauche nun eine Matrix A mal eine Matrix B die gleich die Einheitsmatrix ist.

Wie bekomme ich B raus, also das Inverse?

Comments

soll deine Gruppe eine Gruppe sein die du selbst gewählt hast oder wurde die so vorgegeben?

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ok ich habe es nicht richtig lesen können hat sich geklärt

Answer 1

erste Möglichkeit:

schaue auf Wikipedia nach:

https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix#Explizite_Formeln

;)

zweite Möglichkeit:

rechne die Inverse über die Definition aus, bei dir ist ja eine Komponente schon  0 machts einfacher.

Also es muss gelten:

$$ A*A^{-1}={E}_{2}\\\begin{pmatrix}  a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}  \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Linke Seite ausmultiplizieren:

$$\begin{pmatrix}  b\gamma+a\alpha & a\beta+b\delta \\ a\gamma & a\delta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Vergleiche nun die entsprechenden Einträge miteinander und stelle das Gleichunggsystem auf:

$$   b\gamma+a\alpha=1\\ a\beta+b\delta=0\\a\gamma=0\\a\delta=1 $$

Da a ≠0 ist muss γ=0 sein.

Dann ergibt sich α=δ=1/a 

Zuletzt noch β=-b/a^2 . Die Inverse lautet also

$$ \begin{pmatrix}  1/a & -b/a^2 \\ 0 & 1/a \end{pmatrix}=\frac{1}{a^2}\begin{pmatrix}  a & -b \\ 0 & a \end{pmatrix} $$

 

Comments

ah ok danke ^^ mir hat nur noch das (bei dir) beta gefehlt. darauf bin ich nicht gekommen ^^

dankeschön