Inverse Matrizen multiplizieren

Question

Aufgabe:

gegeben sei eine partitionierte matrix

X=

X_11	X_12
X_21	X_22

wobei X_11 ∈ K(m,m) und m < n. Sei X_11 invertierbar, X_11^-1

Y=

X_11^-1	0
0	0

Man zeige : X · Y · X = X ⇔ X_22 = X_21 * X_11^-1 *X_12.

Problem/Ansatz:

Ich habe es versucht indem ich die matrizen multipliziere, X_22 habe ich auch eingesetzt, kam aber irgendwie zur keinen richtigen Lösung.

Answer 1

Wo ist das Problem?

Einfach ausmultiplizieren.

$$ \begin{pmatrix} X_{11} &X_{12}  \\ X_{21} &X_{22}\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} X_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} E& 0\\X_{21}X_{11}^{-1}  &0  \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} E& 0\\X_{21}X_{11}^{-1}  &0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} X_{11} &X_{12}  \\ X_{21} &X_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12}\\X_{21}&X_{21}X_{11}^{-1}X_{12}=X_{22 } \end{pmatrix} $$

Comments

Damit wäre die äquivalenz gezeigt?

---

Richtig, dann und nur dann wenn

$$X_{21}X_{11}^{-1}X_{12}=X_{22}$$folgt

$$X*Y*X=X$$