Hallo Gockelino,
Das besagte Flächenstück befindet sich zwischen \(x=0\) und \(x=80\).
~plot~ x^3/5000-11x^2/250+56x/25;x=36.06;[[-20|200|-25|170]] ~plot~
Sein Flächeninhalt beträgt
$$\int_0^{80} \frac{x^3}{5000} - \frac{11x^2}{250} + \frac{56x}{25} \space \text{d}x = \left. \frac{x^4}{20000} - \frac{11x^3}{750} + \frac{28x^2}{25} \right|_0^{80} = 1706\frac{2}{3}$$
Nun ist die Position \(x=p\) einer vertikalen Geraden gesucht, die diese Fläche halbiert. Also formal
$$\int_0^p s(x) \space \text{d}x = \frac12 \int_0^{80} s(x) \space \text{d}x = 853\frac{1}{3}$$
Das heißt, es wird nicht bis 80 integriert, sondern nur bis zu einem Wert \(x=p\) für den der Wert des Integrals halb so groß ist, wie der des Integrals bis 80. Es gilt also diese Gleichung zu lösen:
$$f(p)=\frac{p^4}{20000} - \frac{11p^3}{750} + \frac{28p^2}{25} - 853\frac{1}{3} = 0$$
Das löst man am besten nummerisch. Mit dem Newton-Verfahren kommt man in wenigen Schritten auf
$$p \approx 36,064$$
Gruß Werner
