Beweisen Sie die folgende Aussage durch vollständige Induktion

Question

Hi,

hänge gerade an dieser aufgabe fest

I.V. P(k): ∏(2i-1) = (2k)!/2^{k}*k!

für den I.S. hab ich bisher für P(k+1): ∏(2i-1) = (2(k+1)-1)*∏(2i-1) = [nach I.V.] (2(k+1)-1)*(2k)!/2^{k}*k! =

(2(k+1)*(2k)!)/2^{k}*k! = ...

weiter schaffe ichs leider nicht.. habe es auch schon rückwärts versucht

(2(k+1))!/(2^{k+1}*(k+1)!) = (2k+2)!/(2^{k}*2*k!*(k+1) = ...

leider komme ich hier wieder nicht weit, hoffe mir kann jemand einen tipp geben.

Gruß Math_Neuling

(PS: wusste nicht genau wie ich das hier alles richtig abtippe, hoffentlich könnt ihr das erkennen^^)

Answer 1

Hallo MN,

Induktionsschluss:

 _i=1∏ⁿ⁺¹  (2i -1)  =  [ _i=1∏ⁿ  (2i -1) ]  *  [ 2(n+1) - 1 ]   (letzter Faktor aus Π  abgespalten)

                           =_IV  [ (2n)!  / ( 2ⁿ * n! ]  * (2n+1)       [ Induktiondvoraussetzung ]

                                       mit  2  und (n+1) erweitern:

                           = [ (2n)! *  (2n+1) * 2 * (n+1) ] / [ 2ⁿ⁺¹ * (n+1)! ]

                                  Zähler umsortieren:

                           =  (2n+2) * (2n+1) * (2n)! / [  2ⁿ⁺¹ * (n+1)! ] 

                           =  (2n+2)! / [  2ⁿ⁺¹ * (n+1)! ]   =  ( 2·(n+1) )! / [  2ⁿ⁺¹ * (n+1)! ] 

Gruß Wolfgang