Wahrscheinlichkeitsrechnung - Hotelgäste, die stornieren oder nicht?

Question

Ein Hotel wird in der Hochsaison vollgebucht. Das Hotel hat 47 Zimmer, erwartet aber 50 Gäste (in diesem Fall pro Zimmer 1 Gast). Der Hotelier geht davon aus, dass 15% der Gäste die Buchung stornieren. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei Gäste in ein anderes Hotel ausweichen müssen?

Ich weiß nicht wirklich, wie ich da rangehen soll. Da keiner storniert -> 100%-15%=85%?

Answer 1

Es sei \(X\) die Zufallsgröße "Anzahl der Stornierungen". Unter der Annahme, dass die Stornierungen unabhängig voneinander erfolgen werden, können wir \(X\) als binomialverteilt mit den Parametern \(n=50\) und \(p=0.15\) auffassen.

Der Wahrscheinlichkeit, dass drei Gäste in ein anderes Hotel ausweichen müssen, entspricht dann die Wahrscheinlichkeit, dass keine Stornierungen erfolgen werden. Gesucht ist dann

$$ P(X=0) = \begin{pmatrix}  50 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 0.15^0 \cdot \left(1-0.15\right)^{50-0} = 0.85^{50} =  0.0002957646637 \approx 2.958\cdot 10^{-4} $$was sich, so wie hier, mit der Bernoulli-Formel berechnen lässt.

Comments

0,85^50 hat doch schon "gast2016" oben geschrieben. Das Problem habe ich jetzt aber mit "Wie wahrscheinlich ist, dass weniger als 3 der 50 Gäste absagen und der Hotelier einen angemeldet Gast in der Nachbarschaft unterbringen muss?"

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Ja, ich weiß. Ich habe allerdings einen Rechenweg angedeutet, der auch auf dem man auch von deinem jetzigen Problem zu einer Lösung gelangen kann. Du weißt ja schon, dass

$$ P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) $$ist. \(P(X=0)\) habe ich bereits oben mit der Bernoulli-Formel

$$ P(X=k) = \begin{pmatrix}  n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot \left(1-p\right)^{n-k} $$ berechnet. Auch die beiden anderen Summanden können damit bestimmt werden. Finde doch mal heraus, ob die Kenntnis und die Bedeutung der Formel im Stoffzusammenhang deiner Frage bereits vorausgesetzt werden kann oder noch nicht.

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Danke für die Antwort und Hilfe. Also ja, mit der Bernoulli-Formel geht es recht einfach.

0,85^50+(50 über 2)*0,15^2*0,85^48+(50 über 1)*0,15*0,85^49= 0,014 also 1,4%.

Ich kann also die Rechnung nicht vereinfachen oder? also 0,85^50+0,85^** etc

Answer 2

P(X=50) = 0,85^50  (= WKT, dass genau 50 Gäste kommen)

Es müssten genau 50 kommen, damit für genau 3 kein Zimmer frei wäre.

Comments

Danke für die Antwort.

Da kommt aber 0,0002 raus = 0,2%?

Wenn es jetzt heißen würde: "Wie wahrscheinlich ist, dass weniger als 3 der 50 Gäste absagen und der Hotelier einen angemeldet Gast in der Nachbarschaft unterbringen muss?"

Würde es dann so gehen?
0,85^50+0,85^49+0,85^48=0,001= 0,1%. Irgendwas stimmt da nicht

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0,0002 = 0,02%

0,85^50 = 0,000295764664 = 0,029%

P(X<3) = P(X=0) +P(X=1)+P(X=2) =0,014= 1,4%

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Das versteh' ich jetzt nicht. Wenn alle Gäste kommen => P(x=50). Wenn einer nicht kommt => P(x=1)? Müsste ich dann nicht 0,85^49 anstatt 0,85^1 rechnen?

Wenn ich 0,85^0+0,85^1+0,85^2 rechne kommt 2.57 raus.