Doppelte NST / Funktionsschar

Question

Hey zusammen,

ich hänge aktuell bei einer Hausaufgabe für die Uni etwas fest:

Bestimmen Sie alle Funktionen f : R → R, die folgende Eigenschaften besitzen:
• f ist ein Polynom vierten Grades
• f hat eine doppelte Nullstelle in x0 = 1
• f hat ein lokales Minimum in x1 = −3.
• f(2) = 4

Meine Vorgehensweise war die Eigenschaften als explizite Bedingungen aufzuschreiben :

Polynom 4. Grades Form : ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

1. 0=-108a+27b-6c+d    (1. Ableitung = 0 für x=-3)

2. 4=16a+8b+4c+2d+e   (f(2)=4)

3. 0=a+b+c+d+e             (doppelte NST bei x=1)

Lös ich das krieg ich a-c in Abhängigkeit von d und e raus, das könnte ich ja in eine Funktion schreiben und hätte prinzipiell die Aufgabe gelöst nach meinem Verständnis.

Ich bin mir nur bei der 3. Bedingung sehr unsicher, weil explizit von einer doppelten NST die Rede ist.

Für Hilfe/Anregungen wäre ich super dankbar

LG ;)

Answer 1

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

Bedingungen

f(1) = 0

f'(1) = 0

f'(-3) = 0

f(2) = 4

Das gibt für mich ein Freicheitsgrad

b = (3·a + 4)/7 ∧ c = (12 - 89·a)/7 ∧ d = 3·(47·a - 12)/7 ∧ e = 2·(10 - 31·a)/7

Prüfe ich noch die Bedingung mit dem Tiefpunkt komme ich auf a > 12/131.

Comments

Ich hatte schon stark gedacht, dass es 4 Bedingungen geben muss, aber wie kommst du auf :

f'(1)=0 

Die anderen 3 Bedingungen habe ich ja auch.

Vielen Danke schon einmal !

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Eine doppelte Nullstelle ist eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und damit ein Hoch oder Tiefpunkt.

Und es muss hier eigentlich 5 Bedingungen geben. So ist die Funktion 4. Grades nicht vollständig bestimmt.

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Natürlich, daran hatte ich nicht gedacht ! Danke dafür !!!

Wenn man die Funktion exakt bestimmen will, dann bräuchte man die 5 Bedingungen, aber in der Aufgabe ist ja explizit nach den Funktionen gefragt, daher gehe ich davon aus, dass das mit den 4 Bedingungen und dann dem Freiheitsgrad stimmen wird ... naja zumindest hoffe ich das mal.

Großes Danke auf jeden Fall noch einmal !