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Ein Unternehmen stellt aus den drei Anfangsprodukten A1 , A2 und A3 die Endprodukte E1 , E2 und E3 her. Pro Mengeneinheit von E1 werden 23 Stück von A1 , 15 Stück von A2 und 17 Stück von A3 benötigt. Eine Einheit von E2 setzt sich aus 11 Stück A1 , 17 Stück A2 und 27 Stück A3 zusammen. E3 besteht aus 3 Stück A1 , 3 Stück A2 und 28 Stück A3 . Es sind 501 Stück von A1 , 379 Stück von A2 und 542 Stück von A3 auf Lager. Berechnen Sie die Produktionsmengen E1 , E2 und E3 , wenn die Lagerbestände zur Gänze verbraucht werden. Welche Menge an E1 kann hergestellt werden? (Hinweis: Von E2 werden 5 Stück erzeugt.)


kann mir hier bitte jemand helfen, wie ich den lösen kann?

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Titel: Ein Unternehmen stellt aus den zwei Anfangsprodukten A1 und A2 die Endprodukte E1 , E2 und E3 her.

Stichworte: produktion,matrix,mengen,gleichung

Ein Unternehmen stellt aus den zwei Anfangsprodukten A1 und A2 die Endprodukte E1 , E2 und E3 her. Der Bedarf pro Einheit eines fertigen Endprodukts sowie der Lagerbestand an A1 und A2 sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

image

Denk dir ein Gleichungssystem

x von E1 und y von E2 und z von E3 dann muss gelten

23x +25y +7z = 1698

8x + ................. 2336

12x           - z  = 0

gibt x=14   y=8    z=168 

Also 168 Stück von E3.

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Der Bedarf an den Anfangsprodukten in Abhängigkeit der Endprodukte kann man schreiben als

A1=23E1+11E2+3E3A_1 = 23E_1 + 11E_2 + 3E_3

A2=15E1+17E2+3E3A_2 = 15E_1 + 17E_2 + 3E_3

A3=17E1+27E2+28E3A_3 = 17E_1 + 27E_2 + 28E_3

Sind die Mengen der Anfangsprodukte AiA_i gegeben, so steht oben ein Lineares Gleichungsystem mit den drei Unbekannten E1E_1, E2E_2 und E3E_3. In Matrixform:

A=(2311315173172728)E=(501379542)A= \begin{pmatrix} 23& 11& 3\\ 15& 17& 3\\ 17& 27& 28\end{pmatrix} \cdot E= \begin{pmatrix} 501\\ 379\\ 542\end{pmatrix}

Die Lösung ist (siehe auch LGS-Löser von Matheretter)

E=(1953) E= \begin{pmatrix} 19\\ 5\\ 3\end{pmatrix}

oder auch: E1=19E_1=19, E2=5E_2=5 und E3=3E_3=3. Falls Du nicht weißt, wie man so ein Gleichungssystem löst, so frage bitte nochmal nach.

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In diesem speziellen Fall ist das relativ einfach. Du hast den Hinweis bekommen, dass E2=5E_2=5 ist. Dann benötigt man nur zwei der drei Gleichungen (da nur zwei Unbekannte übrig bleiben). Setze E2E_2 gleich ein:

23E1+115+3E3=50123 E_1 + 11 \cdot 5 + 3 E_3 = 501

15E1+175+3E3=37915E_1 + 17 \cdot 5 + 3E_3= 379

Bringe den bekannten mittleren Summanden auf die linke Seite

23E1+3E3=501115=44623 E_1 + 3 E_3 = 501 - 11 \cdot 5 =446

15E1+3E3=379175=29415E_1 + 3E_3= 379 - 17 \cdot 5 = 294

Jetzt ziehe die untere Gleichung von der oberen ab. Dadurch fällt der Term mit E3E_3 raus.

(2315)E1+(33)E3=446294=152(23-15)E_1 + (3-3)E_3 = 446-294=152

Die Division durch 8 gibt E1=19E_1=19.

Allgemein kannst Du solche Gleichungen mit dem Gaußschen Algorithmus lösen oder mit einem geeigneten Werkzeug.

Ich habe eine ähnliche Rechnung (und bin Ihnen für den Rechenweg sehr dankbar) jedoch löst sich bei mir E3 nicht auf, wie gehe ich da vor?

So ein LGS (lineares Gleichungssystem) sollte immer mit dem Gaußschen Algorithmus zu lösen sein (Link s.o.). Ansonsten Aufgabe bitte als Frage bei Mathelounge.de einstellen und möglichst konkret sagen, wo das Problem ist.

@Jasmin1: Er muss 34500GE in Portfeuille P2 investieren. Wenn Du wissen willst, wie der Rechenweg ist, so stelle die Aufgabe als Frage ein.

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