Pythagoras-Baum aus Quadraten. Fläche berechnen. Rekursionsgleichung und geschlossener Ausdruck?

Question

es soll eine Rekursionsgleichung und ein geschlossener Ausdruck für \( A_n \), den Flächeninhalt des \( n \)-ten Pythagoras-Baumes, angegeben werden. s. Bild!

Dabei sollen mögliche Flächenüberschneidungen ignoriert werden. Außerdem soll der Flächeninhalt der Dreiecke nicht berücksichtigt werden!

Meine Lösung:

\( A_0 = c^2 \)

\( A_1 = c^2 + (c \cdot sin(\alpha))^2 + (c \cdot cos(\alpha))^2 = c^2 + c^2 \cdot (sin(\alpha)^2 + cos(\alpha)^2) = c^2 + c^2 \cdot (1) =  2c^2\)

\( A_2 = 2c^2 + (c \cdot sin(\alpha) \cdot sin(\alpha))^2 + (c \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha))^2 + (c \cdot cos(\alpha) \cdot sin(\alpha))^2 + (c \cdot cos(\alpha) \cdot cos(\alpha))^2 = \cdots =  3c^2\)

\( \cdots \)

\( A_n = n \cdot c^2 + c^2\)

Rekursionsgleichung:

Für beliebiges \( c \):

\( A_0:= c^2, A_n := A_{n-1} + c^2 \)

Für \( c=1 \):

\( A_0:= 1, A_n := A_{n-1} + 1 \)

Geschlossener Ausdruck:

Für beliebiges \( c \):

\( A_n:= (n+1) \cdot c^2 \)

Für \( c=1 \):

\( A_n:= n+1 \)

Ist das so in Ordnung?

Danke und viele Grüße

Asg

Answer 1

Zu deiner Rekursionsformel. 

A_(n+1) = .... + 1. 

Das scheint mir unrealistisch. Es würde heissen, dass immer die gleiche Fläche dazukommt und diese Fläche ausserdem gerade 1 ist. 

Ich hätte eher mit einer Art geometrischer Reihe gerechnet. Eine "Schwierigkeit" könnte sein, dass immer mehr Quadrate dazukommen. D.h. vielleicht den Faktor noch verdoppeln. (?) . 

Wobei gut! Nach Pythagoras, müssen ja die beiden neuen Flächen jeweils die Hypotenusenquadratfläche ausmachen. Und die erste Fläche (rot) ist 1. 

Nachher wird immer wieder dasselbe in einer neuen Farbe addiert. D.h. A_(n+1) = A_(n) + 1 macht doch Sinn. (Der Anfang mit sinus und cosinus ist überflüssig) . 

Das c am Anfang kannst du eigentlich auch weglassen, da c=1 gegeben ist. 

Rekursive Formel für die Flächensumme:

A_(0) = 1, A_(n+1) = A_(n) + 1 ,

Geschlossene Formel für die Flächensumme:

A_(n) = n + 1. 

Comments

Hallo Lu,

danke für deine Antwort.

Ja, aus jedem Quadrat gehen zwei neue Quadrate hervor, deren Flächeninhalt zusammen den Flächeninhalt des 1. Quadrates ergeben. D.h. in jedem Schritt verdoppelt sich zwar die Anzahl der Quadrate, aber gleichzeitig so zu sagen "halbiert" sich der Flächeninhalt.

"Formal:" Flächeninhalt(Vater Quadrat) = Flächeninhalt(1. Kind Quadrat) + Flächeninhalt(2. Kind Quadrat)

Das ist ja nichts anderes als der Satz von Pythagoras.

[...]Der Anfang mit sinus und cosinus ist überflüssig[...]

Damit zeige ich ja, wieso die Folge so ist, wie sie ist. Deshalb ist es, denke ich nicht überflüssig.

[...]Das \(c\) am Anfang kannst du eigentlich auch weglassen, da \(c=1\) gegeben ist.[...]

Ja normalerweise schon, aber ich wollte es zuerst allgemein für alle \(c\) zeigen und anschließend für \(c=1\).

Asg

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"...]Der Anfang mit sinus und cosinus ist überflüssig[...]

Damit zeige ich ja, wieso die Folge so ist, wie sie ist. Deshalb ist es, denke ich nicht überflüssig. "

Hinschreiben darfst du das natürlich schon. Nur: Du beweist hier den Pythagoras mit sinus und cosinus (also mit etwas, das nach dem Pythagoras erst behandelt und bewiesen wird und auf dem Pythagoras beruht). sin^2(x) + cos^2(x) = 1 wird "trigonometrischer Pythagoras" genannt. Daher darfst du meines Erachtens auch einfach. "A_(1) = c^2 + c^2 wegen Pythagoras " schreiben. 

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Du hast Recht. Ich hatte vergessen zu erwähnen, dass wir \(sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \) als bewiesen voraussetzen dürfen.

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Dann hast du das vermutlich so gemacht, wie es gedacht war. 

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Das hoffe ich :)