Wie berechne ich die Ableitung vom Integral? f(x)=integral(sin(cos(t))) von x^2-1 bis x^3 dt

Question

Gesucht ist die Ableitung folgender funktion
f(x)=integral(sin(cos(t))) von x^2-1 bis x^3 dt
wie?

Answer 1

Sei g(t) := sin(cos(t)). g ist auf ganz ℝ differenzierbar, also stetig, also integrierbar.

Es sei a ∈ ℝ. Laut Hauptsatz der Analysis ist dann

        G(t) := ∫_a..t sin(cos(r)) dr

eine Stammfunktion von g(t). Insbesondere ist G'(t) = g(t).

Es ist

        G(x³) = ∫_a..x³ sin(cos(r)) dr

und

        G(x²-1) = ∫_a..x²-1 sin(cos(r)) dr

laut Definition von G. Laut Hauptsatz ist ebenfalls

        ∫_x²-1..a sin(cos(r)) dr = -∫_a..x²-1 sin(cos(r)) dr = -G(x²-1)

Mittels Additivität von Integralen bekommt man so

          ∫_x²-1..x³ sin(cos(r)) dr

      = ∫_x²-1..a sin(cos(r)) dr + ∫_a..x³ sin(cos(r)) dr

      = -∫_a..x²-1 sin(cos(r)) dr + ∫_a..x³ sin(cos(r)) dr

      = -G(x²-1) + G(x³)

      = G(x³) - G(x²-1).

Also ist

        f(x) = G(x³)-G(x²-1).

Aus der Kettenregel folgt nun

        f'(x) = 3x²·G'(x³) - 2x·G'(x²-1)

               = 3x²·g(x³) - 2x·g(x²-1)

               = 3x²·sin(cos(x³)) - 2x·sin(cos(x²-1)).