Integral bestimmen cos(t)/(1+sin^2(t))

Question

Ich soll das Integral ∫(cos(t)) / (1+sin^2(t))  geht von -π/2 bis π/2 bestimmen. Mit Substitution hab ich sin(t)=u =>du/dt = cos(t) => ∫ ((cos(t)) / (1+u^2)) *(du/cos(t)) = ∫ (1/(1+u^2)) du  (im Intervall -π/2 bis π/2). An der fett markierten Stelle komm ich leider nicht weiter.

Answer 1

Hi,

das ist der arctan. Das darf man nachschlagen/wissen ;).

Grüße

Answer 2

eine Stammfunktion von u ↦  1/(1+u²) ist  u ↦ arctan(u)  

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

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Ich hab das ganze jetzt auf das Integral 1/(1+(cos(t)/sin(t))) und dann auf 1/(1+cos(t)sin(t)) gebracht. An der Stelle hänge ich jetzt fest. Ich weiß, dass als Ergebnis am Ende Pi/2 rauskommen müsste. Nur wie komm ich an der Stelle weiter?

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ich verstehe nicht ganz, was du gemacht hast:

∫ 1/(1+u²) du = arctan(u) = arctan(sin(t))     (jeweils +c, wenn man es ohne Grenzen hinschreibt)

mit den Grenzen -π/2 und π/2 erhältst du das Ergebns π/2:

arctan(sin(π/2) - arctan(sin(-π/2) = arctan(1) - arctan(-1) = π/4 - (-π/4) = π/2

Answer 3

int (cos(t)/(1 +sin^2(t)) dt

z = sin(t)

dz/dt = cos(t)

dt=dz/cos(t)

-------->

= int (1/(z^2+1) +C

= arc tan(z) +C

= arc tan(sin(t)) +C

die Grenzen eingesetzt , ergibt:

π/2

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Vielen Dank für deine Antwort