Hi,
arbeite mit den trigonometrischen Identitäten:
$$\sin(x)\cos(y) = \frac12(\sin(x-y)+\sin(x+y))$$
Somit ergibt sich:
$$\frac12\int(\sin(x(m+n)) - \sin(x(m-n)))\; dx$$
Das nun summandenweise integrieren. Beachte die "innere Ableitung".
$$\frac{\cos((m-n)x)}{2(m-n)} - \frac{\cos((m+n)x)}{2(m+n)}$$
Erweitern (dritte binomische Formel) damit man das auf einen Bruchstrich schreiben kann
$$\frac{m\sin(mx)\sin(nx)+n\cos(mx)\cos(nx)}{m^2-n^2}$$
Grenzen einsetzen:
$$\frac{m\sin(2\pi m)\sin(2\pi n)+n\cos(2\pi m)\cos(2\pi n) - n}{m^2-n^2}$$
Es muss m≠n sein.
Wenn m,n∈ℕ
$$\frac{m\cdot0+n\cdot1-n}{m^2-n^2} = 0$$
Grüße