Integral von sin(nx)cos(mx), n,m∈ℕ

Question

wir sollen das Integral von 0 bis 2pi bestimmen von sin(nx)cos(mx)

Bitte um Hilfe :)

Comments

Ist n,m∈ℕ ? ;)

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ja sind sie^^

Answer 1

Hi,

arbeite mit den trigonometrischen Identitäten:

$$\sin(x)\cos(y) = \frac12(\sin(x-y)+\sin(x+y))$$

Somit ergibt sich:

$$\frac12\int(\sin(x(m+n)) - \sin(x(m-n)))\; dx$$

Das nun summandenweise integrieren. Beachte die "innere Ableitung".

$$\frac{\cos((m-n)x)}{2(m-n)} - \frac{\cos((m+n)x)}{2(m+n)}$$

Erweitern (dritte binomische Formel) damit man das auf einen Bruchstrich schreiben kann

$$\frac{m\sin(mx)\sin(nx)+n\cos(mx)\cos(nx)}{m^2-n^2}$$


Grenzen einsetzen:

$$\frac{m\sin(2\pi m)\sin(2\pi n)+n\cos(2\pi m)\cos(2\pi n) - n}{m^2-n^2}$$

Es muss m≠n sein.

Wenn m,n∈ℕ

$$\frac{m\cdot0+n\cdot1-n}{m^2-n^2} = 0$$


Grüße

Comments

\( \frac{1}{2} \) \( \int\ \) (sin(x(m+n))−sin(x(m−n))) dx

Woher kommt das - vor dem sin(x(m-n))?

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Es heißt eigentlich sin(x(n-m)). Man kann nun aus dem Sinus -1 ausklammern, denn sin(x) = -sin(-x). Damit kommt man dann auf das -sin(-x(n-m)) = -sin(x(m-n)).

Weiß nicht mehr warum ich nicht einfach die Summanden im ersten Sinus umgedreht hab und dafür lieber hinten so kompliziert :P.