Lineare Optimierung in Isoquante

Question

Die m1- nicht

Wie kommen die auf diese ganzen Werte --> Zielfunktion ?

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Vom Duplikat:

Titel: Zielfunktion aufstellen anhand von Isoquante

Stichworte: lineare,optimierung

Wie kommt auf die Zielfunktion?

Weil meine Funktion ist: -1/2x₁ +10 ≤ x₂

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Eigentlich hätte das eine Nachfrage zu

https://www.mathelounge.de/494990/lineare-optimierung-aufgabe

sein müssen, denn

deine Zielfunktion ergibt sich wohl  aus

F(x,y) = 15x₁ + 30x₂    ( → max )

zu  15x₁ + 30x₂ = n     | - 15x₁

      30x₂ = -15x₁ + n    | : 30

          x₂ = - 1/2 x₁ + n/30  

Mit n = 300 (einfach nur groß genug gewählt, damit die Gerade oberhalb des zulässigen Bereichs liegt) erhält man dann die eingezeichnete Isoquante 

  x₂ = -1/2 x₁ + 10  

Answer 1

Hallo Wady,

m1)

Wenn man die Isoquante parallel zum Zulässigkeitsbereich ZB verschiebt bis sie diesen erstmalig erreicht, erhält man aus den gemeinsamen Punkten den Optimalbereich OB. Das kann ein Eckpunkt des OB oder eine Randstrecke des OB sein.

Da die Gerade 3) und die Isoquante beide die Steigung -1/2 haben und deshalb parallel sind, ist es hier die gesamte Strecke zwischen den Punkten (2|3) und (5|1,5). Diese wird durch die Mengen1) und 3) bei den Lösungen beschrieben, welche einfach die gleiche Strecke darstellen.

m2)

Wenn du die Gleichungen der Geraden   1) - 3)  in der Form x₂ = m * x₁ + n aufstellst, liegen alle Punkte des OB unterhalb dieser Geraden. Deshalb gilt jeweils  x₂ ≤  m * x₁ + n. Diese Ungleichungen kann man dann in die in der Formulierung des LP gegebene Form umformen.

Beispiel: Gerade 1) hat die Steigung 1 und den x₂-Achsenabschnitt (y-Achsenabschnitt) 1.

Gleichung:  x₂ = x₁ + 1  →   x₂  ≥  x₁ + 1     ⇔  - x₁ + x₂ ≥ 1

Gruß Wolfgang

Comments

Danke.

Kannst du das auch für die zweite und dritte mal machen.

Ich habe bei der dritten 0,5x1+x2  ≤ 4 --> ist es das gleiche wie in der Lösung.

Wie komme ich auf die Zielfunktion.

Und wie bekomme ich immer diese Werte bei ≤.... raus wie rechnet man die aus.

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0,5x1+x₂  ≤ 4     | *2

x₁ + 2x₂ ≤ 8   

In der schlecht lesbaren  Lösung  scheint  x₁ - 2x₂ ≤ 8   zu stehen, dann müsstest du einen Vorzeichenfehler gemacht haben. Stell doch ggf. deine Lösung mal ein.

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Alles gut es ist positiv.

Warum muss man die den mit 2 multiplizieren.

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Muss man eigentlich nicht, man hat dann lediglich eine "schönere" Ungleichung ohne Brüche (Dezimalzahlen) :-)

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und auf die Werte nach ≤... kommt man wie.

Kann man die irgendwo ablesen.

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Die ergeben sich automatisch, nachdem du die Geradengleichung als Ungleichung geschrieben und die x₁ , x₂ - Terme nach links und die konstante Zahl nach rechts gebracht hast (ggf. nach einer Multiplkation zur Vermeidung von Brüchen)