Komplexe Zahlen, bestimmen Sie alle Lösung von (x + iy)^2 = a + ib.

Question

Für  a, b ∈ R, bestimmen Sie alle Lösungen (x, y) ∈ R^2 der Gleichung: (x + iy)^2 = a + ib. 

Answer 1

(x + iy)^2 = a + ib.

x^2 + 2ixy - y^2 = a + ib  | Realteil und Imaginärteil trennen.

x^2 - y^2 = a   (I) 

2xy = b         (II) 

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Nun hast du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten. 

Benutze z.B. das Einsetzverfahren um es zu lösen. (Erst mal einfach so in der Annahme, dass z.B. x nicht 0 ist. Dann noch für den Fall, dass x= 0 aber y ≠ 0. x=y=0 ist als Spezielfall schnell mit a=b=0 zusammengebracht. Du solltest ausser im Fall a=b=0 jeweils mehr als eine Lösung finden). 

Anmerkung: Nicht erschrecken, wenn die Lösung formal etwas kompliziert aussieht. Hier, was herauskommt, wenn a und b mit Beispielzahlen gefüllt werden. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+-+y%5E2+%3D+7++,++2xy+%3D+17