Menge M ≠ ∅ und ℕm := {n∈ℕ| n ≤ m} . Vollständige Induktion über eine Abbildung

Question

Es soll mittels vollständiger Induktion folgendes gezeigt werden:

Für eine beliebige Menge M ≠ ∅ und ℕ_m := {n∈ℕ| n ≤ m} gilt:

Entweder gibt es ein m∈ℕ und eine bijektive Abbildung φ : ℕ_m → M oder für jedes m∈ℕ gibt es eine injektive Abbildung φ: ℕ_m → M.

Ich bin für jeden Lösungsvoschlag, Tipp, Hinweis, etc sehr dankbar.

Answer 1

Hallo Markus, nehmen wir an,
M = {5, 8, 22} oder ähnlich
N₇ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} oder ähnlich

Entweder-Halbsatz:  bijektive Abbildung:  {1, 2, 3} -> {5, 8, 22}
Für eine bijektive Abbildung muss gelten |Menge1| = |Menge2|.
Oder-Halbsatz:  injektive Abbildung:  {1} -> {5, 8, 22, …} und {1, 2} -> {5, 8, 22, …} und …
Für eine injektive Abbildung muss gelten |Menge1| <= |Menge2|.

Wie wir sehen, gilt der erste Halbsatz für |M| endlich und der zweite Halbsatz für |M| unendlich.  Das ist kein Beweis, aber ein anschaulich machen des Sachverhalts.