Matrizen. Für welchen Wert gibt es keine unendlich vielen bzw. genau eine Lösung

Question

( 1    3    0    | -1 )

( 0    1    2    | -2 )

( 0    1    2  | a+1 )

Ist eine Übungsaufgabe für das Abitur und ich versteh nicht mal die Frage...

Lösungsweg wäre sehr hilfreich :)

Answer 1

Mach dir zunächst einmal klar, wann ein Gleichungssystem keine,eine oder unendlich viele Lösungen hat.

Dann wende den Gauß-Algorithmus an. Und betrachte dann diese verschiedenen Fälle, für verschiedene Werte von a.

Answer 2

wenn du Z3   durch Z3 - Z2  ersetzt, hast du in Z3

0 0 0   a+3

Das Gleichungssystem hat also

- unendlich viele Lösungen für a = - 3       (a+3 = 0)

[ letzte Gleichung  0*x+0*y+0*z = 0, man kann z beliebig wählen, in Z2 einsetzen und y (abhängig von z) ausrechnen   und dann in G1 einsetzen und x  (abhängig von z) berechnen.

- keine Lösung für a ≠ - 3

    [  0*x+0*y+0*z  = k  hat keine Lösung für k≠0 ]

Gruß Wolfgang 

Comments

Das ist ein Widerspruch in sich...

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Geht es etwas genauer?

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- keine Lösung für a ≠ 3

Da fehlt ein Minus.

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Okay, hatte den Tippfehler gerade korrigiert. Danke für den Hinweis.

Answer 3

Bring die gegebene, erweiterte Koeffizentenmatrix A' in die Treppennormalform. Z.B. mit dem Gauß-Algorithmus.
Dann lassen sich Eigenschaften wie Lösbarkeit, Anzahl der Lösungen anhand des Terms an der Stelle (3,4) ablesen:

1) Es gibt genau dann (mindestens) eine Lösung, wenn Rg(A) = Rg(A') ist.
2) Es gibt genau dann eine Lösung, wenn Rg(A) = Rg(A') = n ist.
3) Es gibt genau dann mehr als eine Lösung, wenn Rg(A) = Rg(A') und Rg(A) ungleich n ist.

P.S. Was A, A', n ist sollte in deinem Skript stehen.

Beste Grüße

Comments

"Ist eine Übungsaufgabe für das Abitur und ich versteh nicht mal die Frage.."

Glaube deine Begründung mit dem Rang ist nicht so ganz auf Abi-Niveau.

Ein Skript gibt es dann auch nicht :D

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https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesbarkeitskriterien-fuer-inhomogene-lineare
:-D