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 a_(1) := 1, a_(n+1) := √(1 + a_(n))

Bild Mathematik

Kann das bitte jemand vorrechnen?

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Vom Duplikat:

Titel: Konvergenz einer rekursiven Folge

Stichworte: rekursiv,folge,konvergenz,monotonie

Eine Folge positiver reeller Zahlen  \((a_n)\) sei iterativ definiert durch  \(a_0=1\), und  \(a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}\),

 Zeigen Sie, dass die Folge  \((a_n)\) konvergiert.

Ich wollte hier Beschränktheit und Monotonie zeigen. 

Da der Startwert hier bei 1 liegt, ist die Folge ja  monoton wachsend. Mein Beweis für die Monotonie wäre (mit Induktion): z.z.:

\(a_{n+2}>a_{n+1}\)gegeben:\( a_{n+1}>a_n\) (InduktionsVoraussetzung)⇔\(a_{n+2}>a_{n+1}\)
⇔\(\sqrt{1+a_{n+1}}>\sqrt{1+a_{n}}\)Da beide Seiten größer 0:⇔\(1+a_{n+1}>1+a_{n}\)
⇔\(a_{n+1}>a_{n}\) (Stimmt, da InduktionsVoraussetzung)

Jetzt zur Beschränktheit: \(a_1 = 1 \le 2\), und \(a_{n+1} \le \sqrt{2+1} = \sqrt{3} \le 2\)\(\to a_n \le 2, \forall n\ge1\)Die Folge ist nach oben durch zwei Beschränkt. 
Da sie Monoton und nach oben Beschränkt ist folgt, nach dem Monotoniekriterium, dass die Folge \(a_n\) konvergiert. Stimmt das so?

Wieso wird das gelöscht? Ich habe hier meinen eigenen Weg genutzt?

Außerdem ist das nicht die exakt gleiche Aufgabe!

EDIT: Es wird (wurde) zusammengefügt innerhalb von absehbarer Zeit und du kannst nur bei der ursprünglichen Fragestellung Antworten bekommen. Tipp: Wähle das nächste Mal eine spezifischere Überschrift, die deine Frage klar von der vorhandenen abgrenzt.

Schau mal hier https://www.mathelounge.de/282994/konvergiert-diese-rekursive-folge-x_-1-1-x_-n-1-√-6-x_-n

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo bizkot,

Wenn ein Grenzwert \(a_N\) existiert, so muss für diesen Grenzwert gelten, dass

$$a_{N+1} = a_N$$

ist. Einsetzen der Rekursionsvorschrift ergibt dann

$$a_{N+1} = a_N = \sqrt{1 + a_N} \quad \Rightarrow a_N^2 - a_N - 1 = 0$$

Das Ergebnis ist das Verhältnis des goldenen Schnitts

$$a_{N_{1,2}} = \frac12 (1 \pm \sqrt{5})$$

Hier bleibt nur der Wert größer 1 - also bleibt die Vermutung

$$a_N = \frac12 (1 + \sqrt{5}) = \phi$$

Weiter gilt, dass für \( 1 \le a_n \lt \phi\) gilt, dass \(a_{n+1} > a_{n}\). Beweis:

$$\sqrt{1 + a_n} > a_n$$

da \(a_n > 0\) ist, kann man quadrieren, ohne dass sich die Größenverhältnisse ändern - also gilt

$$1 + a_n > a_n^2$$

diese Gleichung ist erfüllt, wenn \( 1 \le a_n \lt \phi \) ist. Also ist die Folge monoton steigend.

Zusätzlich lässt sich zeigen, dass \(a_n \lt \phi\) für \(n \in \mathbb{N}\) (Beschränktheit). Es gilt immer, dass

$$a_{n+1} \lt \phi \quad \text{wenn } a_n \lt \phi$$

da

$$a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n} \lt \sqrt{1 + \phi} = \phi$$

Somit ist gezeigt , dass \(a_n\) gegen \(\phi\) konvergiert.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

meine ich habe eine ähnliche Frage mit \( a_0=1 \) und \( a_{n+1}=\sqrt{a_n+1} \). Ich muss zeigen das an konvergiert.

Ich wollte hier Beschränktheit und Monotonie zeigen.  

Da der Startwert hier bei 1 liegt, ist die Folge ja  monoton wachsend. Mein Beweis für die Monotonie wäre (mit Induktion): 

z.z.:\(  a_{n+2}>a_{n+1} \)

gegeben: \(a_{n+1}>a_n \) (InduktionsVoraussetzung)

⇔\(a_{n+2}>a_{n+1}\)

⇔\( \sqrt{1+a_{n+1}}>\sqrt{1+a_{n}}\)

Da beide Seiten größer 0:

\( 1+a_{n+1}>1+a_{n}\)

\( a_{n+1}>a_{n}\) (Stimmt da InduktionsVoraussetung)

Jetzt zur Beschränktheit:

\( a_1 = 1 \le 2\), und \( a_{n+1} \le \sqrt{2+1} = \sqrt{3} \le 2 \)

\( \to a_n \le 2, \forall n\ge1 \)

Die Folge ist also nach oben durch zwei Beschränkt. Da sie Monoton und nach oben Beschränkt ist folgt, nach dem Monotoniekriterium, dass die Folge a_n konvergiert. Stimmt das?





Hallo Bij,

Die Monotonie hast du korrekt gezeigt. Die Beschränktheit nicht - dort steht nur, dass \(a_2<2\) ist. Daraus folgt nicht zwingend, dass alle \(a_n<2\) sein werden.

Gruß Werner

Hmm ok. Ich bin mir da nicht so ganz sicher wie ich die Beschränktheit sonst zeigen kann. Eine andere Idee wäre:

z.z.: \( 0\le a_n\le 2\) mit vollst. Induktion

1) \(a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}<\sqrt{2+1}=\sqrt{3}<2\)

2) \(a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}<\sqrt{0+1}=\sqrt{1}>0\)

Also gilt: 0<an <2.

Egal wie man es beweist. Ich denke, es ist in jeden Fall sinnvoll, den Grenzwert \(\phi = \frac12(1+\sqrt{5})\) in die Betrachtung der Beschränktheit einzubeziehen. Ansonsten siehe meine Antwort oben.

Gruß Werner

Alles klar. Wäre den meine Richtung mit der vollständigen Induktion als Beweis auch ok? Ansonsten würde ich das über $$ \phi = \frac12(1+\sqrt{5}) $$ machen.

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