Hallo bizkot,
Wenn ein Grenzwert \(a_N\) existiert, so muss für diesen Grenzwert gelten, dass
$$a_{N+1} = a_N$$
ist. Einsetzen der Rekursionsvorschrift ergibt dann
$$a_{N+1} = a_N = \sqrt{1 + a_N} \quad \Rightarrow a_N^2 - a_N - 1 = 0$$
Das Ergebnis ist das Verhältnis des goldenen Schnitts
$$a_{N_{1,2}} = \frac12 (1 \pm \sqrt{5})$$
Hier bleibt nur der Wert größer 1 - also bleibt die Vermutung
$$a_N = \frac12 (1 + \sqrt{5}) = \phi$$
Weiter gilt, dass für \( 1 \le a_n \lt \phi\) gilt, dass \(a_{n+1} > a_{n}\). Beweis:
$$\sqrt{1 + a_n} > a_n$$
da \(a_n > 0\) ist, kann man quadrieren, ohne dass sich die Größenverhältnisse ändern - also gilt
$$1 + a_n > a_n^2$$
diese Gleichung ist erfüllt, wenn \( 1 \le a_n \lt \phi \) ist. Also ist die Folge monoton steigend.
Zusätzlich lässt sich zeigen, dass \(a_n \lt \phi\) für \(n \in \mathbb{N}\) (Beschränktheit). Es gilt immer, dass
$$a_{n+1} \lt \phi \quad \text{wenn } a_n \lt \phi$$
da
$$a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n} \lt \sqrt{1 + \phi} = \phi$$
Somit ist gezeigt , dass \(a_n\) gegen \(\phi\) konvergiert.
Gruß Werner