Folgen - rekursive Vorschrift mit Wurzel a_(1) := 1, a_(n+1) := √(1 + a_(n))

Question

 a_(1) := 1, a_(n+1) := √(1 + a_(n))

Kann das bitte jemand vorrechnen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Konvergenz einer rekursiven Folge

Stichworte: rekursiv,folge,konvergenz,monotonie

Eine Folge positiver reeller Zahlen  \((a_n)\) sei iterativ definiert durch  \(a_0=1\), und  \(a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}\),

 Zeigen Sie, dass die Folge  \((a_n)\) konvergiert.

Ich wollte hier Beschränktheit und Monotonie zeigen. 

Da der Startwert hier bei 1 liegt, ist die Folge ja  monoton wachsend. Mein Beweis für die Monotonie wäre (mit Induktion): z.z.:

\(a_{n+2}>a_{n+1}\)gegeben:\( a_{n+1}>a_n\) (InduktionsVoraussetzung)⇔\(a_{n+2}>a_{n+1}\)
⇔\(\sqrt{1+a_{n+1}}>\sqrt{1+a_{n}}\)Da beide Seiten größer 0:⇔\(1+a_{n+1}>1+a_{n}\)
⇔\(a_{n+1}>a_{n}\) (Stimmt, da InduktionsVoraussetzung)

Jetzt zur Beschränktheit: \(a_1 = 1 \le 2\), und \(a_{n+1} \le \sqrt{2+1} = \sqrt{3} \le 2\)\(\to a_n \le 2, \forall n\ge1\)Die Folge ist nach oben durch zwei Beschränkt. 
Da sie Monoton und nach oben Beschränkt ist folgt, nach dem Monotoniekriterium, dass die Folge \(a_n\) konvergiert. Stimmt das so?

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Wieso wird das gelöscht? Ich habe hier meinen eigenen Weg genutzt?

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Außerdem ist das nicht die exakt gleiche Aufgabe!

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EDIT: Es wird (wurde) zusammengefügt innerhalb von absehbarer Zeit und du kannst nur bei der ursprünglichen Fragestellung Antworten bekommen. Tipp: Wähle das nächste Mal eine spezifischere Überschrift, die deine Frage klar von der vorhandenen abgrenzt.

Schau mal hier https://www.mathelounge.de/282994/konvergiert-diese-rekursive-folge-x_-1-1-x_-n-1-√-6-x_-n

Answer 1

Hallo bizkot,

Wenn ein Grenzwert \(a_N\) existiert, so muss für diesen Grenzwert gelten, dass

$$a_{N+1} = a_N$$

ist. Einsetzen der Rekursionsvorschrift ergibt dann

$$a_{N+1} = a_N = \sqrt{1 + a_N} \quad \Rightarrow a_N^2 - a_N - 1 = 0$$

Das Ergebnis ist das Verhältnis des goldenen Schnitts

$$a_{N_{1,2}} = \frac12 (1 \pm \sqrt{5})$$

Hier bleibt nur der Wert größer 1 - also bleibt die Vermutung

$$a_N = \frac12 (1 + \sqrt{5}) = \phi$$

Weiter gilt, dass für \( 1 \le a_n \lt \phi\) gilt, dass \(a_{n+1} > a_{n}\). Beweis:

$$\sqrt{1 + a_n} > a_n$$

da \(a_n > 0\) ist, kann man quadrieren, ohne dass sich die Größenverhältnisse ändern - also gilt

$$1 + a_n > a_n^2$$

diese Gleichung ist erfüllt, wenn \( 1 \le a_n \lt \phi \) ist. Also ist die Folge monoton steigend.

Zusätzlich lässt sich zeigen, dass \(a_n \lt \phi\) für \(n \in \mathbb{N}\) (Beschränktheit). Es gilt immer, dass

$$a_{n+1} \lt \phi \quad \text{wenn } a_n \lt \phi$$

da

$$a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n} \lt \sqrt{1 + \phi} = \phi$$

Somit ist gezeigt , dass \(a_n\) gegen \(\phi\) konvergiert.

Gruß Werner

Comments

meine ich habe eine ähnliche Frage mit \( a_0=1 \) und \( a_{n+1}=\sqrt{a_n+1} \). Ich muss zeigen das a_n konvergiert.

Ich wollte hier Beschränktheit und Monotonie zeigen.  

Da der Startwert hier bei 1 liegt, ist die Folge ja  monoton wachsend. Mein Beweis für die Monotonie wäre (mit Induktion): 

z.z.:\(  a_{n+2}>a_{n+1} \)

gegeben: \(a_{n+1}>a_n \) (InduktionsVoraussetzung)

⇔\(a_{n+2}>a_{n+1}\)

⇔\( \sqrt{1+a_{n+1}}>\sqrt{1+a_{n}}\)

Da beide Seiten größer 0:

⇔\( 1+a_{n+1}>1+a_{n}\)

⇔\( a_{n+1}>a_{n}\) (Stimmt da InduktionsVoraussetung)

Jetzt zur Beschränktheit:

\( a_1 = 1 \le 2\), und \( a_{n+1} \le \sqrt{2+1} = \sqrt{3} \le 2 \)

\( \to a_n \le 2, \forall n\ge1 \)

Die Folge ist also nach oben durch zwei Beschränkt. Da sie Monoton und nach oben Beschränkt ist folgt, nach dem Monotoniekriterium, dass die Folge a_n konvergiert. Stimmt das?

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Hallo Bij,

Die Monotonie hast du korrekt gezeigt. Die Beschränktheit nicht - dort steht nur, dass \(a_2<2\) ist. Daraus folgt nicht zwingend, dass alle \(a_n<2\) sein werden.

Gruß Werner

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Hmm ok. Ich bin mir da nicht so ganz sicher wie ich die Beschränktheit sonst zeigen kann. Eine andere Idee wäre:

z.z.: \( 0\le a_n\le 2\) mit vollst. Induktion

1) \(a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}<\sqrt{2+1}=\sqrt{3}<2\)

2) \(a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}<\sqrt{0+1}=\sqrt{1}>0\)

Also gilt: 0<a_n <2.

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Egal wie man es beweist. Ich denke, es ist in jeden Fall sinnvoll, den Grenzwert \(\phi = \frac12(1+\sqrt{5})\) in die Betrachtung der Beschränktheit einzubeziehen. Ansonsten siehe meine Antwort oben.

Gruß Werner

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Alles klar. Wäre den meine Richtung mit der vollständigen Induktion als Beweis auch ok? Ansonsten würde ich das über $$ \phi = \frac12(1+\sqrt{5}) $$ machen.