Trigonometrie. Rechtwinkliges Dreieck (gamma = 90°) mit Höhe hc. Restliche Grössen?

Question

Aufgabenstellung:

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC (s. Abbildung) sind zwei Werte gegeben. Berechne die fehlenden Größen einschl. A.

Abbildung:

 

Gegebene Seiten:

a= 7cm

b= 5,1cm

Was ich bisher habe?

Habe bisher:

c= 8,66cm

alpha= 53,9°

beta= 36,1°

und 

gamma= 90°

Comments

Mit A ist gelegentlich die Fläche (area) gemeint und nicht die Koordinaten des Punktes A. Das ist natürlich ein unschöner Konflikt in der Fragestellung. 

Die Fläche A (bei gamma = 90°) bekommst du direkt über die Katheten a und b.

A = (a*b)/2 .

Grund: Ein rechtwinkliges Dreieck ist immer ein halbes Rechteck.

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@TR

Fläche ist doch
A= g*h/2
oder?

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Das stimmt auch. Wenn du ein rechtwinkliges Dreieck hast, kannst du es so hinlegen, dass ein Kathete waagrecht und die andere senkrecht liegt.

Nun nennst du die waagrechte Kathete g (Grundseite) und die senkrechte Kathete h.

Dann hast du A = (g*h)/2 oder eben (wenn die Katheten a und b heissen: A = (a*b)/2 .

Vorteil von dieser Methode: Du machst keine Rundungs- oder Folgefehler, da a und b gegeben sind.

Answer 1

Hi!

p,q bekommst du mit dem Kathetensatz des Euklid https://de.bettermarks.com/mathe/hoehensatz-und-kathetensatz/#GeoIISGdPHoeKat.1
Aus a^2 = p*c und b^2 = q*c folgt
p = a^2/c und
q = b^2/c

p = 7^2/8,66 = 5,66
q = 5,1^2/8,66 = 3

h_c z.B. mit dem Satz des Pythahoras
q^2 + h_c^2 = b^2
h_c^2  = b^2 - q^2
h_c = √(b^2 - q^2)
h_c = √(5.1^2 - 3^2)
h_c = 4,12

Grüße

Comments

Konnte alles nachvollziehen und die Aufgabe lösen

Dankesehr,
Anton

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Wenn du mir diese Antwort auch geben könntest wäre ich dir unendlich dankbar.

Gleiche Abbildung (siehe Frage)

gegeben ist:

a= 3,4cm

beta= 37,5grad

Da fehlt doch irgendwie was? oder?

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Hallo Anton,

sin(37,5°) = 3,4/c damit bekommst du c.

3,4^2 + b^2 = c^2 damit bekommst du b

α = 90° - 37,5° usw. Rest wie oben.

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Sollte man nicht

sin(37,5)= c/3,4?

Sinus ist doch Gegenkathete/Hypotenuse

a= 3,4

c= ?

a ist doch in dem Fall die Hypotenuse

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Sorry, ich habe die Seiten verwechselt. Sinus beta wäre hier sin(β) = b / c

aber b und c sind gar nicht gegeben. Darum nehmen wir lieber cos(β) = a / c um
daraus c = a  / cos (β) zu bekommen.
Dann die Seite b aus a^2 + b^2 = c^2 usw.

 

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Meinst du mit c? die Seite ganz unten wo p drüber steht?

3,4cm/cos(37.5)= 4.3cm

kann ja nicht länger als die Hypotenuse sein...

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Ja, genau. Die Abbildung ist doch dieselbe wie in deiner Frage oder? Deshalb habe ich das Bild noch einmal kopiert und die gegebene Seite und den gegebenen Winkel gelb markiert.

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kann ja nicht länger als die Hypotenuse sein...

c ist doch die Hypotenuse.

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Entweder bin ich dumm oder ich stehe extrem aufm Schlauch...

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Ach, du möchtest zuerst die Höhe h_c berechnen? Ja, dann ist sin(β) = h_c / a.
Ich wolte erst c berechnen und hatte geschrieben: "Darum nehmen wir lieber cos(β) = a / c um daraus c = a  / cos (β) zu bekommen. "
Wir haben sozusagen aneinander vorbei geredet.
Hoffe die Unklarheiten sind jetzt beseitigt :-)

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Habe da 5.85 raus kann das überhaupt stimmen?

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Hallo Anton,

bitte eine Frage jeweils nur einmal stellen. Ich habe nicht gewusst, dass du schon mit 2 anderen Leuten eine Diskussion zur Frage angefangen hast.

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Wie hast du das gerechnet, ich bekomme etwas anderes

sin(37,5°) = hc / 3,4
hc = 3,4 * sin(37,5°)
hc = 2,07

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Bist du dir sicher das deins korrekt ist?

Habe falsch  umgestellt...

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Du kannst die Probe machen. Wenn arcsin(2,07/3,4) ≈ 37,5° ist, sollte das stimmen.

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Puuh,

Dankeschön für deine Mitarbeit....

Mahte is schwer aber macht Spaß.

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Gerne! :-)
Dann mal weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

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Sorry, dass es hier zugeht wie bei Täglich grüßt das Murmeltier aber

habe jetzt  c ermittelt (vom gesamten Dreieck)
Katethensatz:
a²=p*c   :p
a²:p=c
3,4^2:2,69= 4,3cm
Stimmt das?
UND
Habe jetzt auf der linken Seite des Dreiecks irgendwie nichts?
Außer hc und nem 90 Grad Winkel....?

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*******IGNORE************

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Stimmt das?
Ja, gerundet kommt das hin.
Geht auch etwas genauer, direkt mit den gegebenen Werten
cos(37,5°) = 3,4 / c
c = 3,4 / cos(37,5°)
c = 4,29

Habe jetzt auf der linken Seite des Dreiecks irgendwie nichts?

Doooch da geht noch was!
tan(37,5°) = b / a ==> daraus b
α = 90° - 37,5° usw.

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b= 4.43cm

das mit alpha check ich nicht.

ist alpha

52.5 oder was?

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b = 2,61

ist alpha 52.5 oder was?
geeee-nau! :-)

das mit alpha check ich nicht
Warum nicht? Die Summe der innenwinkel in einem Dreieck ist 180°. Davon nimmt γ schon mal 90° ein, es bleiben 90° übrig, die sich α und β teilen.

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Demnach ist

q=?

q= b*cos(a)

q= 2.6*cos(52.5)

q= 1,6cm

(Unser Lehrer meinte wir sollen auf eine Stelle nach dem Komma aufrunden wegen dem Zeichnen)

Ich weiß gar nicht wie ich mich bedanken soll, sehr gute Erklärungen, sehr geduldig, sehr freundlich und höfflich.

Jetzt habe ich alle Seiten! :)

Vielen Dank,

Anton

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Ich weiß gar nicht wie ich mich bedanken soll

Danke, ist okay, hab ich gern gemacht!
Beste Grüße

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Konnte die darauffolgende Aufgabe problemlos lösen. Alle Ergebnisse von Dir sind übrigens korrekt

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Konnte die darauffolgende Aufgabe problemlos lösen.

Super! :-)

Answer 2

A (soll wohl die Fläche sein)=a·b/2. h_c: h_c=c·sin(α), q=c·cos(α) und p+q=c.

Comments

Sind das verschiedene Formeln für den Rechenweg oder jede Formel ein bestimmter?

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Das sind Formeln für die noch fehlenden Stücke p, q und h_c.

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Dankesehr ebenfalls,

Wenn du mir diese Antwort auch geben könntest wäre ich dir unendlich dankbar.

Gleiche Abbildung (siehe Frage)

gegeben ist:

a= 3,4cm

beta= 37,5grad

Da fehlt doch irgendwie was? oder?

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Da fehlt nichts. c=a/cos(β); b=c·sin(β); α=90°- β; p=a·cos(β); q=b·cos(α); h_c=√(p·q).

Fläche= a·b/2

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Sollte b nicht

b= sin(ß)*c sein?

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Es gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation ; (Faktoren darf man vertauschen).