Berechne die Maße, damit die Schafe am meisten Platz haben.

Question

Aufgabe:

Ein Hirte will für seine Schafe an einem Kanal eine rechteckige Weide mit einem 200m langen Zaun abstecken. das Ufer des Kanals soll dabei eine der Rechtecksseiten seinund braucht nicht mit einem Zaun versehen zu werden.

Wie muss der Hirte die Maße wählen, damit die Tiere möglichst viel Platz haben?

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Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie wie groß die Maße der abgezäunten Weide sein müssen, damit die Schafe möglichst viel Platz zum Grasen …

Stichworte: extremwertaufgabe

Aufgabe:

Ein Hirte will für seine Schafe an einem Fluss eine rechteckige Weide mit einem 200 m langen Zaun abstecken. Das Ufer des Flusses soll dabei eine der Rechteckseiten sein und braucht nicht mit einem Zaun versehen zu werden.
Berechnen Sie wie groß die Maße der abgezäunten Weide sein müssen, damit die Schafe möglichst viel Platz zum Grasen haben.
Geben Sie auch an wie groß die Fläche ist.

Answer 1

A = a*b;

2*a +b = 200;

b = 200 -2a;

in A einsetzen:

A = a*(200 -2a) = -2a^2 +200a;

A wird für ein a maximal wenn A'(a) = 0

A'(a) = -4a +200 = 0;

4a = 200;

a = 50;

b = 100;

Damit beträgt die Fläche A = 5000 m^2

Comments

Danke für die Antwort.

Damit ich auch den Lösungsweg verstehe habe ich zwei Fragen.

Wie kommen Sie auf:
2*a +b = 200  und

b= 200-2a .

Über eine zweite Antwort würde ich mich freuen.

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Wenn ich vorgreifen darf:
Ein Rechteck hat ja normalerweise den Umfang 2a + 2b. In diesem Falle fällt aber eine Seite b weg, weil das Ufer des Kanals nicht mit Zaun versehen wird.
Also werden die 200 Meter Zaun auf drei Seiten verteilt, nämlich zweimal Seite a und einmal Seite b.
2a + b = 200.

Und jetzt soll b durch a ausgedrückt werden, damit man die weiteren Rechenschritte, die Johann Ribert durchgeführt hat, angehen kann.
Dazu wird auf beiden Seiten der Gleichung 2a subtrahiert:
2a + b - 2a = 200 - 2a

b = 200 - 2a

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Danke schön!

Verstehe ich das also richtig, dass ich 2*a +b = 200  nach b umformen muss?

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Ja, genau. So ist es.

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Man macht sich hier die Tatsache zu nutze, dass man mit der Ableitung einer Funktion, deren Extrempunkte finden kann, wenn man die Ableitung 0 setzt.

Es gibt zwei unbekannte Größen: a und b, die Seiten des Rechtecks.

Um zwei Unbekannte bestimmen zu können braucht man zwei Gleichungen. Das sind:
A = a*b
2*a +b = 200

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Gerne :-)

b wird jetzt durch a ausgedrückt, damit man nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten a (bzw. eine Funktion in einer Variablen a) hat, die man dann wie vorgerechnet maximieren kann, nämlich 

A = a * (200 - 2a)

Man hätte auch a durch b ausdrücken können, was sich aber nicht empfohlen hat, weil wir in der Gleichung 

2a + b = 200

schon ein b stehen hatten. 

Hätte man aber doch a durch b ausdrücken wollen, wäre das so gegangen: 

2a + b = 200 | auf beiden Seiten b subtrahieren

2a + b - b = 200 - b

2a = 200 - b

a = 100 - b/2

Dann wäre die Flächenfunktion

A = 2a * b = 2*(100 - b/2) * b = (200 - b) * b = 200b - b²

Ableitung davon = 0 setzen:

-2b + 200 = 0

-2b = -200

b = 100

a = 100 - b/2 = 100 - 50 = 50

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Ich bedanke mich hier an alle die mir die mir die Antwort gegeben haben und den Lösungsweg, dass ich ihn jetzt auch nachvollziehen kann. =)

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Gern geschehen :-)

P.S.

Die von Johann Ribert in seine Antwort eingefügte Skizze verdeutlicht die Aufgabenstellung und Lösung sehr schön!

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Tolle Antworten! Mathe zum Verstehen!

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Ich glaube, ich spreche auch für Johann, wenn ich sage:
Das freut uns sehr!

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Jo. War gute Teamarbeit. thx :)

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...macht Spass, die math. Gedanken nachzuvollziehen!

Answer 2

extremwertaufgabe

1. Hauptbedingung aufstellen
2. Nebenbedingungen aufstellen
3. Nebenbedingung verwenden um in der Hauptbedingung Variablen zu eliminieren. Ergebnis ist die Zielfunktion
4. Extrempunkt der Zielfunktion bestimmen
   

Zu 1.

möglichst viel Platz

Flächeninhalt soll maximal sein. Formel für den Flächeninhalt herausfinden.

Dazu muss man wissen, welche Form die Figur hat, deren Flächeninhalt möglichst groß sein soll

eine rechteckige Weide

Die Figur ist ein Rechteck. Formel für den Flächeninhalt ist also

(HB)        \(A = a\cdot b\).

Zu 2.

200 m langen Zaun abstecken. Das Ufer des Flusses soll dabei eine der Rechteckseiten sein und braucht nicht mit einem Zaun versehen zu werden.

(NB)        \(a+2b = 200\)

Zu 3.

Gleichung (NB) nach a umformen ergibt

        \(a = 200-2b\)

In (HB) einsetzen ergibt die Zielfunktion

        \(A(b) = (200-2b)\cdot b\).