Dreiecksfläche: Beweisen Sie die Richtigkeit der Heronschen Formel

Question

Beweisen Sie die Richtigkeit der HERONschen Formel

A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) aus A = 1/4 * √(4b²c² - (b²+c²-a²)²

bzw

Answer 1

Einfach ausrechnen, erstmal ohne die Wurzel:

s * (s-a) * (s - b) * (s-c)          und s = ( a+b+c) / 2   einsetzen

=( a+b+c) / 2   * ( ( a+b+c) / 2      -a) * (( a+b+c) / 2       - b) * (( a+b+c) / 2     -c) 

=( a+b+c) / 2   * ( ( -a+b+c) / 2  ) * (( a-b+c) / 2   ) * (( a+b-c) / 2   )

=( a+b+c) / 2   * ( ( -a+b+c) / 2  ) * (( a-b+c) / 2   ) * (( a+b-c) / 2   )

= ( -a² + b² + 2bc + c² ) / 4        *    ( a² - b² + 2bc  -  c² ) / 4

=  (2bc   + ( -a² + b² + c² )  )      *    ( 2bc  - (  -a² + b² +  c²  ) )  /    16

3. binomi !

=  (4b²c²     - (  -a² + b² +  c²  )²   )  /    16

Und dann die √    gibt

1/4  *   √(4b²c²     - (  -a² + b² +  c²  )²   )