Beweis zu Polynomring und seinen Unterringen

Question

"Sei A ein kommutativer Ring mit 0≠1 in A. Betrachte den Polynomring A[X] über A in X und seine Unterringe A[X^m] für alle m ∈ ℕ₀.

a) Zeige      A[X^l] ⊆ A[X^m] ⇔ l ∈ ⟨m⟩_Z      für alle l, m ∈ ℕ.
b) Zeige      A[X^l] ≅ A[X^m]                      für alle l, m ∈ ℕ."


Ich bin (für Teilaufgabe a) soweit, dass ich zeigen soll, dass  A[X^l] genau dann Unterring von A[X^m] ist, wenn l = c*m ist mit ganzzahligem c. Stimmt das soweit? Und falls ja, wie kann ich dann weiter vorgehen, um das zu zeigen?

Bin für jeden Tipp dankbar!

Answer 1

> A[X^l] ⊆ A[X^m] ⇔ l ∈ ⟨m⟩Z

∑_i=0..n a_i (X^l)ⁱ = ∑_i=0..n a_i X^il = ∑_i=0..n a_i X^icm = ∑_i=0..n a_i (X^m)^ic.

Das funktioniert natürlich nur, wenn man A[X^a] als Teilmenge von A[X] auffasst.