Zeigen Sie, dass zwei abelsche Gruppen nicht isomorph sind.

Question

"Sei n ∈ ℕ mit n > 1. Zeige, dass die abelschen Gruppen ℤ/⟨n²⟩ und ℤ/⟨n⟩ × ℤ/⟨n⟩ nicht isomorph sind."

Kann mir jemand mit dieser Aufgabe weiterhelfen?
Ich bin total am verzweifeln, habe leider bis jetzt nur den groben Ansatz, dass ich annehmen müsste, es gäbe einen Isomorphismus zwischen den Gruppen und dann irgendwie zum Widerspruch führen muss, dass die Eigenschaft für Homomorphismus nicht mehr erfüllt ist.
Ich wäre mega dankbar, wenn mir jemand beim Lösen helfen könnte!

Comments

Spontan würde ich sagen:

ℤ/n²ℤ ist zyklisch, ℤ/nℤ x ℤ/nℤ hingegen nicht.

Answer 1

ℤ/n²ℤ wird von der 1 erzeugt. Das heißt, jedes Gruppenelement lässt sich als Summe von hinreichend vielen einsen darstellen.

Zeige dass es kein e = (e₁, e₂) ∈ ℤ/nℤ × ℤ/nℤ gibt, so dass sich jedes Element aus ℤ/nℤ × ℤ/nℤ als Summe von hinreichend vielen e darstellen lässt.