die Wege werden über Geraden realisiert.
Hier mal die Rechnung für den ersten Weg.
$$ \vec{F}=\begin{pmatrix} x-y\\x+y\end{pmatrix}\\I_1=\int\vec{F}d\vec{x}=\int_{(0,0)}^{(3,1)}\vec{F}d\vec{x}+\int_{(3,1)}^{(3,3)}\vec{F}d\vec{x}\\=\int_{0}^{1}\vec{F}(3t,t)*\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}dt+\int_{0}^{1}\vec{F}(3,1+2t)*\begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix}dt\\=\int_{0}^{1}\begin{pmatrix} 2t\\4t\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}dt+\int_{0}^{1}\begin{pmatrix} 2-2t\\4+2t\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix}dt\\=\int_{0}^{1}10tdt+\int_{0}^{1}(8+4t)dt\\=5+10=15 $$
Das Integral über dem zweiten Weg lässt sich auf ähnliche Weise berechnen, es kommt aber ein anderes Ergebnis heraus, obwohl Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen. Daher ist das Feld nicht konservativ.
